函数极限和连续课件.ppt

第1章 函数、极限、连续 一 函数 1、函数的定义 4、分段函数 2. 复合函数 2、 函数的极限 2、 两个重要极限 常用等价无穷小: 4、闭区间上连续函数的性质 定理2(介值定理): 例3、 证明方程 第二个重要极限： （1）此极限主要解决1∞型幂指函数的极限 说明： （2）它可以形象的表示为：（其中□表示相同的 变量或表达式） 或 例2 证明： 例1 求 解：原式= 证明： 即当x→0时，ln(1+x)~x 例3 　　解　方法一　令 u = -x， 因为 x ? 0 时 u ? 0， 所以 方法二　掌握熟练后可不设新变量 例 4 解　因为 所以令 u = x - 3 ，当 x ? ? 时 u ? ? ， 因此 练习 求下列极限 利用无穷小量计算极限 等价无穷小替换定理： 本定理说，在求商式或乘积的极限时，分子或分母有无穷小 量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换 常使计算简化。但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换， 而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极 限过程一般不能用等价无穷小代换。 ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ ～ 注：利用等价无穷小计算极限是一种基本方法 例1 求 例2 求 解 当x→0时，sin2x~2x，ln(1+x)~x，所以 若直接用 x 代替 tanx 及 sinx， 　　因为，虽然 tanx ? x，sinx ? x ，但 tanx-sinx ? 0 则不成立，因此，这里用 0 代替 tanx – sinx 是错误的。 是错误的。 则 例3 例3 解：原式= 不能滥用等价无穷小代换. 切记：只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中的各个无穷小不能分别代换. 注意： 例4、 解： 本节内容 函数的连续性 间断点 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 五、 函数的连续性 例4、 求 当 从0左右两侧趋近于0时， 的表达式不一样, 须考察左右极限. 解： 左右极限存在但不相等, 例5、 解： 1、 无穷小量 定义 如果在x的某种趋向下，函数f (x)以零为极 限，则称在x的这种趋向下，函数f (x)是无穷小量， 简称无穷小。 例如，数列 的极限是零，故 （当n→＋∞时） 是无穷小量。当x→∞时，函数 是无穷小量。 当x→0时，sinx和 lg(1＋x)也都是无穷小量。 三、无穷小与无穷大 定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 例如，当x→0时，x3和sinx都是无穷小量， 所以x3＋sinx也是无穷小量。 无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。 定理2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x→2时，(x2－4)和ln(x－1)都是无穷小量， 所以(x2－4)ln(x－1)也是无穷小量。 2、无穷小量的性质 定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x→0时，函数x是无穷小量，而 是 有界函数，所以 也是无穷小量 定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x→＋∞时，2-x是无穷小量， 所以3×（2-x）也是无穷小量。 3、 无穷小量的比较 已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小， 但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？ 定义: 无穷小量的比较 定义 如果在x的某种趋向下，函数 f (x)的绝对值 可以任意地大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大 量，简称无穷大。 例如，当x→∞时函数x2是无穷大量，当x→0时函数 1/x是无穷大量，当x→＋∞时函数ln(1＋x)是无穷大量。 4、无穷大量 在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f (x) ，按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量， 并记做 lim f (x) ＝∞ 类似地，还有 lim f (x) ＝＋∞ lim f (x) ＝－∞ 这样一来，相关的极限就可以方便地表达了。 前面的几个例子可以写成 无穷大量的倒数是无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数