哈密顿原理——科学美学瑰旨琦意课件.ppt

最小作用量原理的臻美旨意 就是说, 在力学以外的经典物理领域, 哈密顿的作用量原理同样有效。 例如电磁场, 也可对其设定作用量, 令其变分为零, 便可导出著名的麦克斯韦方程。 与离散质点系不同,物质场是连续性系统亦有相应的连续性系统的拉格朗日方程, 对子电磁场、弓力场、流体等均适用。 再者,哈密顿原理的应用还可越出经典物理。量子力学的核心薛定鄂方程正可从哈密顿一雅可比方程过渡得出。 量子力学的三种表述形式与拉格朗日一哈密顿理论比较, 都有其直接的对应物当然, 这里除了考虑到从经典力学过渡到量子力学的对应原理外, 还须引入量子概念。 最小作用量原理的臻美旨意 其实, 作用量原理在量子场论研究中发挥的效用最大；经典物理各动力学方程的导出, 起先倒不必利用该原理, 而建立种种量子场论, 往往就是考查所研究之量子场的作用量, 用变分法探索其变化规律。 量子物理学家乐于采用此法去展示微观物质层次的面貌。狄拉克认为：“ 哈密顿量H对于量子理论是真正重要的；只有通过将哈密顿量H或哈密顿概念的推广,才能获得成功。” 因为“ ? ?从哈密顿量出发工作, 确实是极为本质的”； 而且由此出发的方法“ 有一个最大的优点, 便是可以很容易使得理论满足相对性原理。” 最小作用量原理的臻美旨意 看来, 哈密顿作用量原理以及拉格朗日、哈密顿等人创造的凭借变分法的研究方式, 的确能揭示许多物质系统的运动状况。 物理世界的外观美行星运行轨道、短程线等和内在美各种不同的运动规律, 全都聚焦于这同一条最基本的原理这真乃大自然的造化神功。 最小作用量原理的臻美旨意 如果把哈密顿原理称作“ 第一性原理” , 那末也许可把由该原理简捷地导出的拉格朗日方程或哈密顿正则方程称作“ 第一性方程” 。且把拉氏方程列出如下： 其中，qi是第i个广义坐标。 倘若系统内有n个质点, 同时受S个约束条件限制,则系统的自由度为3 n - S 。, 相应地就有3 n - S 个独立的广义坐标。倘若是连续性物质系统, 即某一物质场, 虽有无限多自由度, 但qi代表场量, 场量的个数当然不多。 最小作用量原理的臻美旨意 拉氏量是系统的状态函数, 前面已述, 常有L=T-U。但L也可不取T-U的形式, 它由所着眼于系统的某一特征而定。 它可以反映系统是质点系还是物质场；也可以反映是经典物理系统还是量子物理系统。 它可以反映系统之动能及其相互作用势的性质；也可以反映其他方面的主要特征, 比如在广义相对论里, 则反映引力场之四维时空的弯曲征状, 如此等等。 自然界中物质系统的多样性, 就由这拉氏量的不同形式表达得淋漓尽致。 最小作用量原理的臻美旨意 拉氏方程本身是关于L的线性微分形式, 但因对于不同物质系统, L的形式相差甚多, 故当它转化成具体的质点系运动方程或场方程后, 有时会是非线性的。 比如爱因斯坦场方程—关于时空度规的微分方程, 因L及其作用量体现了引力场的自作用而包含非线性项。 由此可见, 物质运动的一些线性规律和非线性规律, 竟然都可溯源于相同的数学方程。既然拉氏方程是各种物质运动规律的统一表示形式, 那末不妨说它是物理世界的一个最优化的理性描述方式。 对于一定条件下的保守系统, L可等同于T-U, 直截了当地反映系统的能量性质。 最小作用量原理的臻美旨意 而在别的某些场合, 即使L代表系统其他方面的特征, 这征还是与其能量有关； 仍说广义相对论的例子, 时空的弯曲本由引力场的能量一动量所引起。因此, 拉氏方程揭示的是物质系统能量性质趋于极至状态这样一条基本的经济原则, 表明系统真实的运动过程比其他一切可能的变化方式都优越、都经济系统总是通过最简捷的途径达到最佳状态。 姑妄言之, 第一性原理和第一性方程的全部美学蕴含就在于其统一性乃至最优性, 它披露了一个使人惬意的真理宇宙万物的运动变化服从于一个统一的经济模式。 最小作用量原理的臻美旨意 既然不同物质系统的运动变化同出一辙、服从于同一的模式, 那末物理世界必然呈现和谐统一的美妙图像。 拉氏量可以千变万化, 从而把这幅图像渲染得斑斓多彩不同的拉氏量满足同一方程, 又使图像的各个片段彼此协调和顺。 故而这第一性原理和第一性方程把物理世界的多样性和同一性融于一体。此物理世界包含种种物质系统的不同运动形式, 包含宇宙物质构成从宇观到微观的所有层次。各层次、各系统的运动规律尽管有形形色色的特殊性, 但都以同一的模式结合成为一个整体。这同一模式就把内涵宏富的整个物理学贯穿起来。 最小作用量原理的臻美旨意 任何物理理论都是物质系统运动的近似描述, 各层次、各系统的具体理论都有一定的适用条件而它们的同一模式、即第一性原理和第一性方程的适用范围也还是有限的。 若作如下广义定义:凡遵循这第一性原理和第一性方程的物质系统, 就称为哈密顿系统。那末, 迄今