数列极限函数极限课件.ppt

发现问题没有? 当x?+?时,函数趋于?/2; 当x?-?时, 函数趋于-?/2; 那 ? 例 定义：对函数 ?(x), 当x绝对值无限增大时(即x→∞), ?(x )无限接近于常数A, 则称A是函数?(x)当x→∞ 时的极限.记为 充要条件： 例 不存在 2 . x→x0 时函数?(x)的极限 当x从大于1和小于1的方向趋于1即当 x→ 1时,函数?(x)无限接近于2. ? ? o x y 1 1 (1,2) 首先,考察 函数 y =?(x) = (如右图) (1) 定义：设函数 在 的附近有定义，如果当 无限接近于 但不等于 时， 无限接近于一个确定的常数 ，则称 当 时函数 以 为极限. 记作 注意： 例：观察并求出下列极限 1 o 1 -1 =1 =0 =0 =1 =1 =-1 中所讨论的x→x0 即x可从 x0 的左右 如 (2). 函数?(x)的左、右极限 则只能考察 x 从 0 的右侧趋于 0 时的极限. 因而必须引进左、右极限的概念. 两侧趋于x0 . 但有时可考察 x 仅从x0 的左侧趋于x0或右侧趋于x0时函数(特别是分段函数在分段点处)的极限. 的左侧有定义，如果当 从 左侧 无限接近于 时的左极限为 。记为 ① 定义：设函数 在 但不等于 时， 无限接近于一个确定的常数 ，则称 当 时函数 以 为极限. 也称 在 ② 定义：设函数 在 的右侧有定义，如果当 从 的右　 　 侧无限接近于 但不等于 时 无限接近于一个确定的常数 ，则称当 时函数 以 为极限． 也称 在 时的右极限为 ．记为 (1) 左、右极限均存在, 且相等； (2) 左、右极限均存在, 但不相等； (3) 左、右极限中至少有一个不存在. 函数在点 x0 处的左、右极限可能出现以下 三种情况之一： ③ 左极限和右极限统称为单侧极限. 定理 函数y = ?(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条件是函数y = ?(x)的左极限和右极限都存在且等于A. 即 左右极限存在但不相等, 证 例 例 解 ？ 如何求 分段点左右两边表达式相同不需分左右极限 例 已知 求 解：1、 2、 即 所以 不存在 3 、 ④ 讨论分段函数在分段点的极限的步骤: 注意：有时不需分左右极限求解 四、函数极限的几个重要性质 为了叙述方便, 将?(x)在 x→∞或 x→x0 时的极限 A 统一记为 1. 唯一性 若 存在, 则极限值 A 唯一. lim ?(x) = A 2.有界性 若 ,则在 的某空心领域内有界 下面性质以 时极限为例，其它极限有类似结果 3. 局部保号性 若 ，且 ，则在 的 某空心邻域内 ，反之若 ，则 。 最后归纳：函数极限(包括数列)概念都可以叙述为： 当自变量 (或 )__________变化时(即 ___ 或 )，函数值都无限地接近于一个确定的常数A，则称当__________时，函数以A为极限，记为 作业：习题册 * … xn x2 x1 x 0 x3 … ????? ????? 0 1 –1 x 所有的奇数项 所有的偶数项 x 1 M 3 x 1 x x4 x2 ????? ????? 0 所有奇数项 1 xn x3 x2 x1 x 0 … … … ????? ????? … (三)、数列极限的直观描述 2. 上面数列(2), (4) 收敛于 0; 数列(5)收敛于1; 数列(1), (3)发散. 3、举例 例1 判断下列数列极限 2、 3、 4、 解：1、 2、 3、 不存在 不存在 4 、 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?