数值分析算法设计.doc

一、题目 在飞机制造业中，机翼的加工是一项关键技术。由于机翼的尺寸很大，通常在图纸中只能标出某些关键点的数据。下表给出的是某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据。 x 0.00 4.74 9.50 19.00 38.00 57.00 76.00 y 0.00 5.32 8.10 11.97 16.15 17.10 16.34 x 95.00 114.00 133.00 152.00 171.00 190.00 y 14.63 12.16 9.69 7.03 3.99 0.00 但是，在使用数控机床加工机翼时，由于机床走刀只能沿x方向和y方向走非常小的步长，因此机床编程时需要计算出轮廓线上x坐标每改变1个单位时y的相应坐标。 请根据加工要求分别用分段线性插值法、分段二次多项式插值法、分段三次多项式插值法和三次样条插值法，对上表中的数据进行细化。 二、算法设计 程序中有三个函数实现对数据的处理，分段线性插值，分段二次多项式插值，分段三次多项式插值都在main函数中实现，三中处理方法均采用Lagrange插值多项式的方法。三次样条插值在yt函数中实现。具体设计如下： 在次数不高于n的多项式集合 ， 中寻求多项式 使其满足条件 i=(0,1,…,n) 满足此种条件的多项式成为n次插值多项式。 令取插值基函数为 (k=0,1,…,n) 显然，都是n次多项式，且具有下列性质 因此，函数组{}必在点集{}上线性无关，并且 就是满足插值条件的n次插值多项式。 分段线性插值法 将区间按照x的变化分成几个区间，在每段区间上运用线性定义计算区间内部的步长值。 即在Lagrange插值公式中，令n=1 分段二次多项式插值 在x所在区间上相邻三点之间做出一条曲线，在中间一点与其余两点中点之间的步长值则取曲线上的值，依次计算下去，在两个端点附近的值则按照相邻的曲线上的取值选取。 即在Lagrange插值公式中，令n=2 (3) 分段三次多项式插值 取在x上相邻的四点做曲线，只取其前三点区间内的值作为函数值。依次计算即得函数值。 即在Lagrange插值公式中，令n=3 （4）三次样条插值 对于区间[a,b]上的一个分划 π: 如果函数s(x)满足条件 s(x)在每个子区间(i=0,1,…,n-1)上是次数不高于k 的多项式； s(x)在区间(a,b)上有k-1阶连续导数。 则称s(x)是定义在[a,b]对应于分划π的k次多项式插值。 对应于k次插值共需要确定n+k个系数，在题目中共需要n+3个系数，依据题目所给定条件，程序中选择第三种边界条件。 在选择第三种边界条件时，将数组进行了周期性的扩充。在负半周将程序驻足完整。形成两个新的函数组dx,dy.在新的数组基础上应用第三种边界条件 既将 代入n元k次多项式函数，得到方程组 求解方程组，将所的M值代入 ， 即可求得相应的函数值。 在求解M值时，程序中采用的是追赶法。 三、全部源程序 # include stdio.h # include math.h # define N 13 # define M 191 double x[N]={0.00,4.74,9.50,19.00,38.00,57.00,76.00,95.00,114.00,133.00,152.00,171.00,190.00}; double y[N]={0.00,5.32,8.10,11.97,16.15,17.10,16.34,14.63,12.16,9.69,7.03,3.99,0.00}; void yt(); double div2(int i,int j) { double m; m=(i-x[j+1])*(i-x[j+2])/(x[j]-x[j+1])/(x[j]-x[j+2])*y[j]; m+=(i-x[j])*(i-x[j+2])/(x[j+1]-x[j])/(x[j+1]-x[j+2])*y[j+1]; m+=(i-x[j])*(i-x[j+1])/(x[j+2]-x[j])/(x[j+2]-x[j+1])*y[j+2]; return(m); } void main() { int i=0,j=0; double solu1[M]={0},solu2[M]={0},solu3[M]={0}; /*分段线性插值*/ for(i=0;iM-1;i++) { if((i=x[j])(ix[j+1])) { solu1[i]=(i-x[j+1])/(x[j]-x[j+1])*y[j]+(i-x[j])/(x[j+1]-x[j])*y[j+1]; } else { i--; j++; } } solu1[M]=