矢量代数要点.doc

矢量代數要點 韋輝樑 矢量代數的起源很大程度上是由為解決力學問題而引起。以下介紹以二維矢量為例，但可以推廣到三維或以上維數的矢量。 定義 一個包括方向和大小兩要素的量，稱為矢量(Vector)。例如物理學上的“力”是一個矢量。 矢量的表示方法有： 用圖形表示：用一個有向線段(帶箭頭的線段)表示：線段的方向表示矢量的方向，線段的長度表示矢量的大小。 用符號表示： 用線段兩端點的大寫字母，並在字母頂上加一小箭頭表示。例如: 或，而字母的順序則表示方向，例如是表示從A到B的方向；而是表示從B到A的方向，||表示線段的長度，亦即矢量的大小。這種表示方法的優點是矢量的始點、終點十分明確，便於用座標對矢量進行計算。 為方便打印，有時也會用斜體粗字表示矢量，例如將寫成 AB。 用一個小寫字母表示，而||表示線段的長度，亦即矢量的大小。這種表示方法的優點是簡單明瞭。 為方便打印，有時也會用斜體粗字表示矢量，例如將寫成 a。 長度 = 1的矢量，稱為單位矢量，用小寫字母加腳標0表示。例如上圖的a0。矢量又可以寫成= aa0，其中實數a表示大小，而a0表示方向。實數a允許負值，這時的方向與a0的方向相反。= aa0這種表示方法的優點是可以將方向和大小分別處理。 用圖形表示是便於通過形象理解，用符號表示是便於代數處理。而符號表示的三種方法也隨“方便”而選擇。 矢量的相等、相反和零矢量 同方向同大小的兩個矢量稱為相等。 同方向 – 兩線段是平行的，而且是同向的(夾角=0)。 同大小 – 兩線段的長度相等。 如圖所示，。 反方向同大小的兩個矢量互相稱為負矢量 反方向 – 兩線段平行，而方向相反 (夾角=180o)。 同大小 – 兩線段的長度相等。 如圖所示，。互為負矢量的兩個矢量又稱為相反。(請注意字母的順序) 零矢量 長度為零的矢量稱為零矢量。零矢量沒有方向，或方向不確定。零矢量用0表示。 矢量的加法 將兩個矢量首尾相接，由第一個矢量的始端到第二個矢量的終端確定了一個新的矢量，這個新矢量稱為這兩個矢量的“和”。記為。求矢量和的方法，叫做矢量的加法。如圖: 。 由得到啟示： 等號右邊中間的兩個字母同為B，即B點既是前一個矢量的尾又是後一個矢量的首，兩個矢量的和，結果是取第一個矢量的前一個字母A和最後一個矢量的後一個字母。例如: 。這種純符號邏輯為提高效率帶來很大方便。 矢量的減法 矢量的減法被定義為加上負矢量：。 顯然： ， 由，得知，、和三個矢量構成一個封閉的三角形，A、B、C是它的三個項點。 在矢量的加減等式中，可以將一個矢量從等號一邊，反號後移往另一邊。 例: 由 矢量乘法 矢量乘法有三種，而矢量沒有除法。 數乘矢量 ----- 數k乘矢量 =k == 的大小：等於大小的 |k| 倍。 的方向: 當k0時，與同向，當k0時與反向。 =k == // 如圖: 求的單位矢量: 由= aao 得： ao=/a。 兩矢量的數積 (又稱點乘) 定義：。 兩個矢量點乘的結果是一個數量，不再是一個矢量。 如果是單位矢量，即b = 1，a cosθ=·b0。矢量在方向上的投影 點乘的單位矢量。 == ⊥ 這樣的定義在數學上似乎有點莫名其妙，但是在物理學上則可以找到最好的解釋，例如力做功的問題。 兩矢量的矢積 (又稱叉乘) 定義：。 其中θ是矢量和的夾角。是與、同時垂直的右手系方向的單位矢量。 在幾何上，absinθ其大小正是由、所夾平行四邊形的面積。是表示該平行四邊形 “面”的方向。(這裡視平面有“底”和“面”之分) ( = 0 == // 這樣的定義在數學上也似乎有點莫名其妙，但是在物理學上則同樣可以找到最好的解釋，例如電磁問題，力矩(轉動)問題。 直角座標系下的矢量計算 設：O(0, 0)，A(xA, yA)，B(xB, yB)， 則 點A對應著由原點指向A的一個矢量： = (xA, yA)， = (xB, yB)，....... = + = - = (xB-xA, yB-yA) 在直角座標下，矢量可由一對座標(x, y)表示，其中 x = 終點的x座標 – 始點的x座標； y = 終點的y座標 – 始點的y座標； = (xB-xA, yB-yA)設 V1=(x1, y1)，V2=(x2, y2)，V3=(x3, y3)，V4=(x4, y4)， 則 V1+V2 = (x1+x2, y1+y2) V1 - V2 = (x1- x2, y1 - y2) -- 兩矢量加減 = 對應座標相加減。 kV1 = k((x1, y1) = (kx1, ky1) V1(V2 = x1(x2 + y1(y2 -- 兩矢量點乘 = 對應座標相乘相加。 V1⊥V2 == x1(x2 + y1(y2 = 0 -- 兩矢量垂直 == 兩矢量點乘