研究性学习课题∶向量在物理中的应用.doc

研究性学习课题:向量在物理中的应用 ─ 对一道高考题中蕴含的这一研究性学习课题的探究 四川省营山小桥中学校 冉晓成 高中数学（必修）第一册（下）安排了研究性学习课题：向量在物理中的应用。对向量在物理中应用的研究，有助于进一步加深对这方面问题的认识，更有助于培养学生探究问题和解决问题的能力。 我们知道向量是既有大小又有方向的量。物理学中的许多量,例如力、位移、速度、加速度等,也是既有大小又有方向的量，可以用向量这一数学工具来解决,我们常用数学模型方法对物理问题加以分析探究,构建数学模型是探索这一研究性课题的一把钥匙. 下面，我们以2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）数学（理科）第20题为例，探究一下这道题中蕴含的“研究性学习课题——向量在物理中的应用”。 例（03年全国高考数学·理科 第20题，本小题满分12分） 在某海滨城市附近海面有 一台风，据监测，当前台风中心 位于城市O（如图）的 东 偏 南）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？ [探究1](向量法1)如图1,在时刻 t(h)台风中心位于P1 ,则 向量 与 的夹角为θ-450, 由向量减法的三角形法则,可得 台风侵袭的区域半径r(t)=10t+60, 当 时城市)O受到台风侵袭. 图1 即 即 即 解得12≤t≤24. 答:12小时后该城市开始受到台风的侵袭. [探究2](向量法2)如图2,我们假设: 台风中心静止在P处,而城市O则以20km/h的速度向东偏南450方向移动, ……, 设在时刻t(h) 城市O移动到O′,则有 ∵ ∴ 图2 由题意得,台风侵袭的区域半径为r台 = 60+10t. ∵ 当 r台 时,城市O受到侵袭. ∴ 化简得 : t2–36t+288≤0. 以下同探究1. [评述]探究1、探究2侧重于用向量的模解题.这两种解法关键在于妙用向量减法的三角形法则、向量的数量积、向量的模和反三角函数的概念;用到两角和的余弦公式和反三角函数的公式;能根据实际意义建立不等式. [探究3](向量法3) 如图3,以O为原点,正东方向为x轴正方向建立直角坐标系. 由反三角函数的概念及公式: , 可求得P点坐标为P , 在时刻t(h)台风中心 的坐标为 P 如图3 ∵在时刻t(t)台风侵袭的区域半径为r(t)=10t+60, 且当 时城市O受到台风侵袭. ∴ 化简得: t2–36t+288≤0. 余略. [探究4](向量法4)如图4, 以P为原点,正东方向为x轴正方向建立直角坐标系.则城市O的坐标为O 在时刻t台风中心为 ∵ y ∴ 如图4 ∵当 (其中r(t)=60+10t)时, 城市O受到台风侵袭. ∴ 即 t2–36t+288≤0. 以下同探究1. [评述] 探究3、探究4侧重于用向量的坐标法解题. 这两种解法关键在于巧妙地求出点的坐标,写出对应的向量,用到向量加(减)法的三角形法则和向量的坐标运算. 综上4种探究:都是把台风中心到城市的距离抽象成了向量的模;运用向量加(减)法的三角形法则、向量的数量积、向