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第20讲 Bezier曲线 济南大学信息学院 回 顾-曲线的表示形式 曲线的表示形式 非参数表示 显式表示 隐式表示 回 顾-曲线的表示形式 回顾－连续性条件 参数连续性 称曲线P = P(t)在 处n阶参数连续，如果它在 处n阶左右导数存在，并且满足 记号 回顾－连续性条件 几何连续性 只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成比例，而不必完全相等 记号 直观的、易于交互控制的连续性 内容提要 Bezier 曲线的提出 Bezier 曲线的应用 Bezier 曲线的定义 Bernstein基函数的性质 Bezier曲线的性质 Bezier曲线生成 总结Bezier曲线优点和缺点 Bezier曲线提出 提出：Bezier在1962年提出 优点： 输入的控制点与生成曲线之间的关系明确； 能方便地改变曲线的形状和阶次。 Bezier曲线应用 计算机辅助设计与制造（CAD/CAM） 飞机、汽车、船舶外形的设计 CATIA－波音 宝马 奔驰 克莱斯勒 水泵叶轮和齿轮等机械零件的设计 Bezier曲线应用 Bezier曲线的定义 Bezier曲线的定义 Bernstein基函数的性质（一） Bernstein基函数的性质（二） Bernstein基函数的性质（三） Bernstein基函数的性质（四） Bezier曲线的性质（一） Bezier曲线的性质（二） Bezier曲线的性质（二） Bezier曲线的性质（四） Bezier曲线生成 如何绘制一段Bezier曲线？ 总 结 抓紧时间 复习备考 Bezier曲线的光滑连接 例子：设有两段三次Bezier曲线，其中一段曲线由控制点P0、P1、P2、P3生成，另一条曲线由控制点Q0、Q1、Q2、Q3生成，P3(Q0)是两段曲线的公共控制点。如果两段曲线要达到光滑连接，需要一阶参数连续，甚至二阶参数连续。 对于一阶导数连续，第一段曲线终点处的导数为： P’(1)﹦3(P3﹣P2) 第二段曲线起点处的导数为： Q’(0)﹦3(Q1﹣Q0) P3﹣P2﹦Q1﹣Q0 Bezier曲线生成 * * 参数曲线的矢量表示形式 参数曲线的规范化表示形式 区间[a,b]规范化为[0,1] 参数表示 传统的、严格的连续性 桥梁建筑物以及日用品的设计 曲线字形轮廓描述 地图图形管理系统 真实感图形的绘制 Bezier曲线应用 还有那些应用? 控制点 阶数 Bernstein基函数 参数 Bezier曲线是参数多项式曲线，它由一组控制多边形的顶点唯一的确定。 控制多边形各顶点，只有第一个和最后一个在曲线上 其它顶点，用于控制曲线的阶次和形状。 改变顶点的位置就会改变曲线的形状(便于修改) 增加顶点，则增加了曲线段的阶次(灵活) Bezier曲线的定义 控制点对曲线形状的修改 Bezier曲线是面向几何的，充分发挥人的主观能动性和创造性，通过直观交互使人对设计对象的控制达到直接的几何化程度。 Bezier曲线的定义 控制点对曲线阶次的修改 Bezier曲线的定义 一次Bezier曲线 二次Bezier曲线 三次Bezier曲线 P(t）= B0,3(t)P0 + B1,3(t)P1+ B2,3(t)P2﹢B3,3(t)P3 其中 B0,3(t)﹦(1-t)3 B1,3(t)﹦3t(1-t)2 B2,3(t)﹦3t2(1-t) B3,3(t)﹦t3 Bezier曲线的定义 非负性 0！=1，00=1。 端点的性质 对称性 推导： t0 1-t0 权性 递推性 t0 导函数 端点性质 曲线的起点和终点同控制多边形的起点和终点重合 当 t﹦1 时，对Bernstein多项式只有k﹦n 的项为1，其它项均为0, 将t＝0代入Bezier曲线表达式： Bezier曲线中对t求一阶导数： 一阶导数 在起始点t﹦0, B0,n-1(0)﹦1，其余项均为0，故有: C’(0)﹦n(P1﹣P0) 在终止点t﹦1, Bn-1,n-1(1)﹦1，其余项均为0，故有: C’(1)= n(Pn﹣Pn-1) 即Bezier曲线在端点处的一阶导数 只同相近的两个控制点有关，其方 向相同于两点的连线方向。 Bezier曲线中对参数t求二阶导数可得： Bezier曲线的性质（三） 在起始点t﹦0处的二阶导数为： C”(0)﹦n(n﹣1)(P2﹣2P1﹢P0) 在终止点t﹦1处的二阶导数为： C”(1)﹦n(n﹣1)(Pn﹣2Pn-1﹢Pn-2) 即Bezier曲线在端点处的二阶导数只同相近