运筹学课件-第八章图与网络分析.ppt

第八章 图与网络分析 一、图与网络的基本知识 二、树 三、最短路问题 四、最大流问题 五、最小费用最大流问题 图论是应用非常广泛的运筹学分支，它已经广泛地应用于物理学控制论，信息论，工程技术，交通运输，经济管理，电子计算机等各项领域。对于科学研究，市场和社会生活中的许多问题，可以同图论的理论和方法来加以解决。例如，各种通信线路的架设，输油管道的铺设，铁路或者公路交通网络的合理布局等问题，都可以应用图论的方法，简便、快捷地加以解决。 随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的发展，图论的理论获得了更进一步的发展，应用更加广泛。如果将复杂的工程系统和管理问题用图的理论加以描述，可以解决许多工程项目和管理决策的最优问题。因此，图论越来越受到工程技术人员和经营管理人员的重视。 1736年瑞士科学家欧拉发表了关于图论方面的第一篇科学论文，解决了著名的哥尼斯堡七座桥问题。哥尼斯堡城有一条普雷格尔河，河中有两个岛屿，河的两岸和岛屿之间有七座桥相互连接，如图8.1a所示。当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能走过一次，最终回到原出发地。尽管试验者很多，但是都没有成功。 一、图与网络的基本知识 在实际的生产和生活中，人们为了反映事物之间的关系，常常在纸上用点和线来画出各式各样的示意图。? 例1:图8.2是我国北京、上海、重庆等十四个城市之间的铁路交通图，这里用点表示城市，用点与点之间的线表示城市之间的铁路线。诸如此类还有城市中的市政管道图，民用航空线图等等。 一、图与网络的基本知识 例2:有六支球队进行足球比赛，我们分别用点v1…v6表示这六支球队。它们之间的比赛情况，也可以用图反映出来，已知v1队战胜v2队，v2队战胜v3队，v3队战胜v5队，如此等等。这个胜负情况，可以用图8.3所示的有向图反映出来。 一、图与网络的基本知识 从以上的几个例子可以看出，我们用点和点之间的线所构成的图，反映实际生产和生活中的某些特定对象之间的特定关系。一般来说，通常用点表示研究对象，用点与点之间的线表示研究对象之间的特定关系。由于在一般情况下，图中的相对位置如何，点与点之间线的长短曲直，对于反映研究对象之间的关系，显的并不重要，因此，图论中的图与几何图，工程图等本质上是不同的。 趣味证明 证明：在任意六个人的集会上，要么有三个人曾相识，要么有三个人不曾相识。 一、图与网络的基本知识 1、图及其分类 定义1 一个图是由点集V={vi}和V中元素的无序对的一个集合E＝{ek}所构成的二元组，记为G＝(V，E)，V中的元素vi叫做顶点，E中的元素ek叫做边。 当V，E为有限集合时，G称为有限图，否则，称为无限图。本章只讨论有限图。 如果一个图是由点和边所构成的，那么，称为为无向图，记作G =(V，E)，其中V表示图G的点集合，E表示图G的边集合。连接点vi,vj?V的边记作[vi,vj]，或者[vj,vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向图，记作D =(V,A)，其中V 表示有向图D的点集合，A表示有向图D的弧集合。一条方向从vi指向vj的弧，记作(vi,vj)。 例如.图8.4是一个无向图G=（V，E） 其中V={v1,v2,v3,v4} E={[v1,v2],[v2,v1],[v2,v3], [v3,v4],[v1,v4],[v2,v4], [v3,v3]} 图8.5是一个有向图D=（V，A） 其中V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} A={(v1,v2),(v,v3),(v3,v2), (v3,v4),(v2,v4),(v4,v5), (v4,v6),(v,v3),(v5,v4), (v5,v6),(v6,v7)} 常用的名词： 一个图G或有向图D中的点数,记作P(G)或P(D),简记作P,边数或者弧数,记作q(G)或者q(D),简记作q。 如果边[vi,vj]?E,那么称vi,vj是边的端点，或者vi,vj是相邻的。如果一个图G中，一条边的两个端点是相同的,那么称为这条边是环，如图8.4中的边[v,v3]是环。如果两个端点之间有两个端点之间有两条以上的边，那么称为它们为多重边，如图8.4中的边[v1,v2] ,[v2,v1]。 定义2 一个无环，无多重边的图称为简单图，含有多重边的图称为多重图。如不特别说明，都是简单图。 2、顶点的次 定义5 以点v为端点的边的个数称为点v的次（度），记作d(v),如图8—4中d(v1)=3， d(v2)=4,d(