高中数学论文集：浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用.docVIP

浅谈数形结合思想在高中数学中的几点应用 在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是数形结合的思想．在高中数学中，数形结合是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中，在处理边角关系的问题中也有较多的应用．在解决集合问题、方程及不等式问题中，如果能注意数形结合的思想的应用，能使许多数学问题简单化．下面举一些例子作详细说明： 一、数形结合思想在解决集合问题中的应用． 1、利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题．如： 例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？ 分析：我们可用圆A、B、C分别表示 参加数理化小组的人数（如右图），则三圆 的公共部分正好表示同时参加数理化小组 的人数．用n表示集合的元素，则有： 即： ∴，即同时参加数理化小组的有1人． 例2、设，已知 求 分析：如图，用长方形表示全集I， 用圆分别表示集合A和B，用n表示集合 的元素，则有： 从韦恩图我们可以直观地看出：． 2、利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题． 例3、设 求 分析:分别先确定集合A，B的元素， ，然后把它们分别在数轴上表示出来，从数轴上的重合和覆盖情况可直接写出答案： (公共部分) (整个数轴都被覆盖) (除去重合部分剩下的区域) (除去覆盖部分剩下的区域) 例4、已知集合 ⑴若，求的范围.⑵若，求的范围． 分析：先在数轴上表示出集合A的范围， 要使，由包含于的关系可知集合B应该 覆盖集合A，从而有:,这时的值不可能存在．要使，这时集合应该覆盖集合B,应有成立． 可解得为所求的范围． 二、利用数形结合思想解决方程和不等式问题． 利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集． 例5、解不等式． 分析：我们可先联想对应的二次函数 的图像草图．从解得 知该抛物线与轴交点横坐标为 -2，3，当取交点两侧的值时,即时， ．即．故可得不等式.的解集为： .同理,根据图像，我们还可以直观地看出： 的解集为等等． 例6、求不等式的解集． 分析:我们先联想对应的二次函数 的图像草图，抛物线开口向下， 与轴没有交点，很明显，无论取任何值时 都有．即,∴ 的解集为空集． 而的解集为全体实数． 因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式地解集． 利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题． 例7、为何值时，方程的两根在之内？ 分析：显然,我们可从已知方程联想到 相应的二次函数的草图，从 图像上我们可以看出，要使抛物线与轴的两个 交点在之间,必须满足条件:即 从而可解得的取值范围为． 例8、如果方程的两个实根在方程的两实根之间，试求与应满足的关系式． 分析：我们可联想对应的二次函数 , 的草图． 这两个函数图像都是开口向上，形状相同且有 公共对称轴的抛物线(如图)．要使方程的两实根在方程的两实根之间，则对应的函数图像与轴的交点应在函数图像与轴的交点之内，它等价于抛物线的顶点纵坐标不大于零且大于抛物线的顶点纵坐标．由配方方法可知与的顶点分别为：．故可求出与应满足的关系式为:． 利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题． 例9、解方程 分析:由方程两边的表达式我们可以 联想起函数,作出这两个 函数的图像,这两个函数图像交点的横坐标 为方程的近似解，可以看出方程的近似解为． 例10、设方程，试讨论取不同范围的值时其不同解的个数的情况． 分析：我们可把这个问题转化为 确定函数与图像交点 个数的情况，因函数表示平行于 轴的所有直线，从图像可以直观看出:①当时， 与没有交点，这时原方程无解;②当时， 与有两个交点,原方程有两个不同的解;③当时， 与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；④当时， 与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；⑤当时与有两个交点，原方程不同解的个数有三个． 利用三角函数的图像解不等式． 例11、解不等式． 分析:原不等式进行适当的变形后可得到： 又∵,∴不等式两边同时