高等数学历年试题集锦.doc

2．利用级数收敛的必要条件，证明：。 证明 考虑正项级数 ， ……………………（2分） 由比值判别法 …………………（4分） …………………………………………（6分） 从而级 收敛，由收敛级数的必要条件得 ……………（8分） 3．用拉格朗日乘数法求：设计一个容量为32立方米的长方形开口水箱，问水箱的长，宽和高各等于多少米时，其表面积最小？ 解：设长方体的长、宽、高分别为，则由题意： 目标函数为：…………………………………………………（1分） 条件函数为：………………………………………………………… (2分） 根据题目要求，利用拉格郎日数乘法，构造函数为： …………………………… （3分） 则有：…………………………………………… （6分） 解之： 对于实际问题，由于驻点是唯一的，则该点就是所求的最大值点。所以当长方体的长、宽、高分别为4，4，2的时候，可以使无盖的长方体表面积最大。 …………（8分） 注：如果出现目标函数与条件函数颠倒，酌情扣4分； 如果目标函数多了盖子，按错误函数求解的，酌情扣4分。 四、(8分) 设函数 可微，且满足，， 求。 解：(方法一) 两边对求导 左端： ………………………… （3分） 右端： …………………………（5分） 由已知 有 ………………………………（7分） 整理得 ……………………………… （8分） (方法二) 因为 所以 ……………… （3分） ………………（5分） 从而 …………………（7分） 即 …………………（8分） (方法三) 因为 　　　　　　　　　 ………………（3分） 所以 …………………………（5分） 于是 …………………………（7分） 即 ……………………（8分） 五、（8分）应用格林公式计算曲线积分：， 为由到经过圆上半部的路线。 解：连接两点，构成封闭路径，从而 （2分） 记 ， （3分） 由格林公式：（6分） 线段：， （7分） 从而 （8分） 评分说明: 写出 得1分, 求出 得2分 没有考虑积分曲线的封闭性而直接用格林公式且计算出结果得4分. 六、（10分）设为连续函数，且，其中是由直线 围成的区域，求。 解：设 ……………………(1分) 则 ……………………(3分) 或 ……………………(5分) ＝ ……………………(6分) ＝ ……………………(7分) ……………………(9分) 由于 , 所以 . …………………… (10分) 七（10分）求级数 的收敛域及和函数，并求 。 求级数的收敛域（5分） 解法一：设 ，则级数 ， ……………………(1分) 由 ，知收敛半径 ……………………(3分) 当 ，级数 发散；当 ，级数 也发散， ……………(4分) 则其收敛域为 ，可知原级数的收敛域为 ……………………(5分) 解法二：因级数只含偶数项，故采用前后通项之比求其收敛域： 由 ……………………(1分) 根据比值判别法，由 时级数收敛可知：当 时原级数收敛 ……(3分) 当 时，级数 发散， …………………(4分) 所以原级数的收敛域为