武汉中考数学压轴题解析.doc

2008年武汉市中考数学压轴题评析 桂文通 1试题 如图1，抛物线y=ax-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B. 求此抛物线的解析式； 若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值； 如图2，过点E（1，-1）作EF⊥x轴于点F。将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求M，N的坐标. 2试题解析 （1）如图1， ∵抛物线y=ax-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点. ∴ 解得 ∴抛物线的解析式y=-. （2）方法1： 如图1，由y=-得B（4，0）、D（0，2）. ∴CD∥AB ∴S=（5+3）×2=8 设直线y=kx-1分别交AB、CD于点H、T，则H（，0）、T（，2）. ∵直线y=kx-1平分四边形ABCD面积， ∴S=S=4. ∴（+1+）×2=4 ∴k=,∴k=时，直线y=x-1将四边形ABCD面积二等分. 方法2： 过点C作CG⊥AB与点G. 由y=-得B（4，0）、D（0，2）. ∴CD∥AB 由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形， ∴ 设矩形ODCH的对称中心为R，则R（，1）.由矩形的中心对称性知：过R 点任一直线将它的面积平分,∴过R点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD面积平分. 当直线y=kx-1经过点R时，得1=k-1 ∴k=, （3）方法1： 如图2，由题意知，四边形AEMN是平行四边形， ∴AN∥EM且AN=EM. ∵E（1，-1）、A（-1，0） ∴设M（m，n），则N（m-2，n+1）. ∵M、N在抛物线上，∴ 解得 ∴M（3，2），N（1，3）. 方法2： 如图2，由题意知△AEF≌△MNQ . ∴MQ=AF=2，NQ=EF=1，∠MQN=∠AFE=90°. 设M（m，），N（n，）， ∴ 解得∴M（3，2），N（1，3）. 注：以上的解答是试题命题组给出的参考答案，以下的解法是笔者在试卷抽样中对学生的解法提炼出来的.这里没有考虑新旧教材的区别，仅供同行研究. 方法3： 如图2，设旋转中心P（m，n）， ∵A（-1，0） E（1，-1） , 根据中点坐标公式得M（2m+1，2n） N（2m-1，2n+1）. ∵M、N在抛物线上，∴ 解得 ∴M（3，2），N（1，3）. 方法4： 如图2，由题意知，四边形AEMN是平行四边形，∴NM∥AE且MN=AE=， ∵直线AE的解析式为y=, ∴可设MN的解析式为y=+b， 联立方程组消去y，整理得 -4x-4+2b=0 设M（、N（），由根与系数关系得 , =2b-4 ∴(=(-4=32-8b 而MN=(+（）=(+[（-+b）-（-+b）] =( ∴(=5 ∴32-8b=4 解得b= 将b=代入方程组解得， ∴M（3，2），N（1，3）. 3．试题评价 从试题的编拟来看，试题简洁，设计的三个问题有层次性，体现了压轴题的选拔功能。整道试题阅读量较小，文字表达简练，不像有的压轴题表述冗长，在阅读理理解题意上增加试题的难度。试题的第（1）问比较常规，学生比较容易上手，增加了学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问出现的等腰梯形学生应该是比较熟悉的，这样可以让学生能够心平气和的思考问题，但在思维的层次上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍，第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出。这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的。并且，在问题的设置中，第（2）、（3）问是两个并列式的问题，这里也体现了试题编拟中人性化的艺术，学生如何第（2）问不会做，不影响他们解决第（3）问，真正作到人尽其才，试卷抽样发现就有一部分学生做出了第（3）问，而第（2）问没有做出来。 从所考查的知识点和数学思想方法上看，考点全面，涉及到初中数学中核心内容。本题以抛物线为载体，综合了函数、方程、点的坐标、直线方程、平行四边形、等腰梯形、图形面积，图形的对称、平移与旋转，还有三角形全等和勾股定理等初中数学的主要知识点。在数学思想方法方面，渗透了数形结合和转化等数学思想，在第（2）问中，通过图形的分割将等腰梯形转化为一个矩形和两个全等的三角形，在第（3）问中将直线与抛物线的交点问题转化为方程组的问题；考查了待定系数法，第（1）是求二次函数的解析式，第（2）是求一次函数的解析式。考查了学生的思维能力、运算能力和创新意识，是一道具有一定思维深度的试题。 从能力要求上看，对学生的解题能力提出了较高的要求。首先，要求考生对图形的性质能够灵活运用。在第（2）问中，结合点的坐标，推出四边形ABCD是等腰梯形。