求递推数列通项公式.doc

数列 求递推数列通项公式 基础类型 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列满足，，求。 解：由条件知： 分别令，代入上式得个等式累加之，即 所以 ， 类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列满足，，求。 解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即 又， 例3:已知， ，求。 解： 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得 当时，，即，又， ，将以上n个式子相乘，得 类型3 （其中p，q均为常数，）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列中，，，求. 解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以. 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列中，若，则该数列的通项_______________ （key:） 类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。 例5:已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,解之得： 所以 类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。 解 (特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。 若是特征方程的两个根， 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）； 当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。 例6: 数列：， ,求 解（特征根法）：的特征方程是：。, 。又由，于是 故 练习:已知数列中，,,，求。 。 变式:（2006，福建,文,22） 已知数列满足求数列的通项公式； （I）： 与的关系式。(或) 解法：利用与消去 或与消去进行求解。 例7：数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式. 解：（1）由得： 于是 所以. （2）应用类型4（（其中p，q均为常数，））的方法，上式两边同乘以得： 由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 类型7 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。 例8：已知数列｛｝中，，求数列 解：由两边取对数得， 令，则，再利用待定系数法解得：。 类型8 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。 例9：已知数列｛an｝满足：，求数列｛an｝的通项公式。 解：取倒数： 是等差数列， 变式:（2006，江西,理,22） 已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ 求数列｛an｝的通项公式； 解：（1）将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n(1） 类型9周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。 例10：若数列满足，若，则的值为___________。 变式:（2005，湖南,文，5） 已知数列满足，则= （ ） A．0 B． C． D． 二、数列的求和 ：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n项和 ； ； 10．（辽宁卷）已知等差数列的前项和为 （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）若a1与a5的等差中项为18，bn满足，求数列的{bn}前n项和. . (Ⅰ)解法一：当时，, 当时,. 是等差数列, , ············4分 解法二：当时,, 当时,. 当时,. . 又, 所以,得.············4分 (Ⅱ)解：, . 又, , ············8分 又得. ,,即是等比数列. 所以数列的前项和 (2)分组求和： 如：求1+1,,,…,,…的前n项和（注：） (3)裂项法： 如求Sn 常用的裂项有； ； （湖北卷）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。 （Ⅰ）、求数列的通项公式； （Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x. 又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5. 当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，） （Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝， 故Tn＝＝＝（1－）. 因此，要使（1－）（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m