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2016 年第十三届五一数学建模联赛
题 目 购房中的数学问题
摘 要
本文以日照圆锥曲面为基础,通过数学模型研究小区楼层房屋的采光问题,并制定
小区车位优化方案。
问题一要求求解所给房间客厅的享受日照时间区间。根据日照圆锥曲面方程和遮挡
关系,以太阳时角为切入点,研究太阳运动的曲面与楼房侧面的交点个数。通过设定参
数得到该客厅享受日照时间区间为9 :00~10:38 和 12:33~13:20 ,共计2 小时25
分钟。
问题二要求描述全年每日日照累计时间,并给出该房间全年享受日照时间超过6 小
时的天数和日期。本问根据问题一所建模型,利用太阳在南北回归线上运动的规律简化
计算,求得全年累计享受日照时间为2448.4 小时,超过6 小时的天数共有204 天。
问题三要求给出消费者C 在仅考虑采光影响的条件下的最优选房方案。本问以采光
效果作为唯一指标,建立0-1 规划模型:
N M N
max T max x H t Total C
kj ikj ij i
i 1 j 1 k 1
结合建筑物之间的遮挡关系得到本问的最优选房方案,具体选房方案见正文。
问题4 要求在考虑房价、环境等因素下给出消费者C 考虑相关影响因素最优选房方
案。本问以房价、环境、交通和噪音为指标,建立的次序权重平均法模型如下:
S
Ai j
d
j ij
在所给的约束条件下对小区的住房点进行等级评价和筛选,根据不同的决策风险,
动态生成对应的购房决策,得到消费者C 最好选购房屋为9#楼第20 层1 单元东户。
问题5 要求建立数学模型并说明7#楼车位分布合理与否,并设计7#楼合理的车位
分布方案。本问以住户达到车位距离的公平性和上下班高峰期人流量最小为原则,建立
多目标规划模型,上下班高峰期人流量控制模型如下:
34 136
2
max S 2 max dn dm d
n 1 m 1
分析并计算得到原车位方案分配方案不合理的结论,具体车位分配方案见附录3.
关键词 日照圆锥曲面 太阳直射点运动规律 次序权重平均法 多目标规划
1
一、问题的背景与重述
1.1 问题背景
建筑设计中如何充分利用太阳能建立良好的人居环境是非常重要的目前,随着经济
的发展,城市人口的增多,越来越多的高层建筑拔地而起,为了节约用地,采取提高建
筑物密度、缩短建筑物间距的方法,使得节约土地与保证日照要求的矛盾日益冲突。因
此,在建筑规划设计中,如何保证建筑物(特别是高层建筑) 的位置和间距满足日照要求
十分重要。
住宅小区是我国城市居民最普遍的居住形式。小区居住形式具有许多优点:增加土
地使用率,降低住宅价格,适合普通居民购买居住;生活便利,家政物业和其他生活服务
设施会向小区聚拢;形成社区,提高安全性等。小区一般由若干幢地理位置较为接近的楼
房组成,每幢楼房是许多私有住宅的集合。
随着现代社
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