相似三角形性质的应用教学设计.doc

教学基本信息 课题 专题：相似三角形性质的应用 学科 初三数学 讲课人 李元东 时间 2010年9月20日 学校 房山二中 班 级 初三（1 2）班 教 学 设 计 教学目标 教学目标：1、2、3、教学重点： 教学难点： 教学过程 教学阶段 教师、学生活动 设计意图 一．问题导入 1思考： 如图，在△ABC中，AD⊥BC，PN//BC，PN=4，BC=12，则 =________ 思路引导：PN//BC (？) 又∵AB⊥BC ∴AE⊥PN （？） （学生思考试答，并总结） 2【做一做】平移PN并保持PN//BC, （且点P不与A，B重合）,分别过P,N作PQ⊥BC于Q,NM⊥BC于M，观察四边形PQMN的形状有什么变化？在这个形状变化的过程中，上述 关系是否仍然成立？ 引起回忆：相似三角形的对应高之比等于相似比的性质 铺桥搭路 动手画图，观察三角形内接矩形的一般性和特殊性 四边形PQMN始终为矩形，特例为正方形。上述关系仍成立  变中之不变 二 研讨探究 【问题】：有一块三角形余料 ，它的边长BC＝12cm，高AD＝8cm，要把它加工成一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB和AC上（如图1），求加工成的正方形PQMN的边长。 ? 研讨：类比做一做，解决这个问题需要 利用到相似三角形的哪个性质？ 这个性质怎样推出？解：设正方形边长为xcm,则 PN=PQ=ED=x cm，AE=(8-x)cm ∵PN∥BC  ∴△APN∽△ABC 即 又∵AB⊥BC ∴AE⊥PN 解得x= ∴ ∴PN= 【变式一】如图2,△ABC是一块铁皮，边BC=12 cm,高AD=8 cm,要用它裁出一个矩形铁皮,能否使矩形的周长为20 cm,若能,求出矩形两边长;若不能,说明理由。 （问题：设PQ=X,如何表示PN?） 【答案：PQ=4,PN=6】 【变式二】△ABC是一块铁皮，∠BAC＝90°,AB=3cm，AC=4 cm，要把它加工成一个正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB和AC上（如图3），求加工成的正方形铁片PQMN的边长 思考：此图形与上图有何不同？你认为问题的突破点在哪里？ 怎样突破？ 解：（学生练习本书写 投影展示，师规范格式） 【变式三】直角三角形的铁片△ABC的两条直角边BC、AB的长分别为3 cm和4cm，如图4，用甲、乙两种方法，剪出一块面积较大的正方形铁皮，试比较哪一种剪法较合理，并说明理由？  (思路指导：只需比较两方案中正方形的边长大小关系) 【结论：甲方案的正方形面积较大】 有高用高 无高做高 构造模型 通过研讨探究比较不同位置下的内接正方形的面积大小，可得出较短（直角边）边处的正方形面积较大 三回顾反思 思考：以上几道实际问题，它们之间有什么联系？你能总结出解决类似问题的一般性解法吗？ 总结：以上几道实际问题，都是利用 “相似三角形对应高的比等于相似比” 这个性质来解决的 规律： 三角形内存在内接矩形时： 有高用高，无高造高。目的： 构造基本数学模型 归纳总结 提炼通法 四 拓展提升 如图△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上（不与A、C重合），Q在BC上。 (1)当S△PQC=S四边形PABQ时，求CP长 (2)在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形，若存在，求出PQ长；若不存在，说明理由。 【（1）思路指导】 思考：S△PQC=S四边形 PABQ 有没有其它含义？ 解： ∵ S△PQC=S四边形 PABQ ∴ 又∵PQ∥AB ∴△PQC∽△ABC ∴ ∴ 即 ∴CP= 【（2）思路指导】 思考：若△PQM为等腰直角三角形时，PQ边可能为该等腰直角三角形的哪一条边？ 简解：如图1：易求AB边上的高CD=2.4 设PQ⊥PM，且PQ=PM 令PQ=PM=x, ∵PQ//AB ∴△CPQ∽△CAB 如图2：当∠PMQ=90°，PM=PQ时，则△PQM斜边PQ上的高MN=0.5PQ, 设PQ=y,则MN=0.5y， 由△CPQ∽△CAB，得 ∴存在这样的点M，使得△PQM为等腰直角三角形。 五 归纳小结 1谈一谈，