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挖掘隐含条件 破解函数综合题 函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一，一般难度较大，考查内容和形式灵活多样。在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用。综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能，而抽象函数又是函数综合问题中的难点。 抽象函数是指没有明确给出解析式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手，因此，必须全面掌握有关的函数知识，严谨审题，分清题目的已知条件，挖掘题目中的隐含条件。为此，本文拟通过数例进行分类剖析，供学习和复习时参考。 一、求解有关定义域 1、已知函数的定义域为（或），求的定义域是指求满足的的取值范围。 例1、设函数的定义域为，求函数的定义域。 分析：一般地说，对于含有参数的题，应对参数进行讨论， 解：由（A） 因为，所以 当时，不等式组（A）的解集为； 当时，不等式组（A）的解集为； 当时，不等式组（A）的解集为。 综上所述：所求函数的定义域为 中小学教育库 高考库 中考库 教案库 试卷库 课件库 作文库 论文库 学前家教 电脑库 2、已知函数的定义域为（或），求函数定义域是指求时，的值域，即是函数的定义域。 例2、已知函数的定义域为，求函数的定义域。 分析：注意对函数和复合函数的定义域的概念要理解清楚。 解：由，所以函数的定义域为。从而由。 因此，所求函数的定义域为 二、有关奇偶性和单调性的判断和应用 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质以及已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系，画出函数的示意图，以形助数，从而才能使问题迅速获解。 例3、已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0x1时f(x)0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减. 分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键； 对于(2)，判定的范围是焦点. 证明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0x1x21,则f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f() ∵0x1x21,∴x2－x10,1－x1x20，∴0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)0 ∴x2－x11－x2x1, ∴01,由题意知f()0，即f(x2)f(x1). ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 例4、定义在（）上的函数满足：①对任意都有；②当时，有， （1）试判断的奇偶性； （2）判断的单调性； （3）求证。 分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。 解：（1）对条件中的，令，再令可得 ，所以是奇函数。 （2）设，则 ， ，由条件（2）知，从而有，即，故上单调递减，由奇函数性质可知，在（0，1）上仍是单调减函数。 （3） 三、探求周期性 这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数模型，通过对函数模型的分析或赋值迭代，获得问题的解。 例5、设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1、x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),且f(1)=a0. (1)求f()、f(); (2)证明f(x)是周期函数； 分析：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为 是解决问题的关键. 解：（1）因为对x1,x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),所以f(x)=≥0, x∈［0,1］ 又因为f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］2 f()=f(+)=f()·f()=［f（）］2 又f(1)=a0 ∴f()=a,f()=a (2)证明：依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),即f(x)=f(2－x),x∈R. 又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x),x∈R ∴f(－x)=f(2－x),x∈R. 将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的