第七章均匀试验设计.doc

7.均匀试验设计 本章要点：均匀试验设计的概念，特点；均匀试验均匀性准则，均匀试验基本方法和应用。 重点：因素、水平数确定，均匀试验设计表选择和使用；含有定性因素的均匀设计。 难点：如何采用均匀试验设计求得最佳试验结果，难点就在如何进行数据分析，目前可以通过数据处理软件SAS、Minitab 、Mathematics、MATLAB、SPSS等进行，因此必须掌握其中一种，使得均匀试验设计发挥出真正作用。 7.1均匀试验设计的概念与特点 均匀试验设计就是只考虑试验点在试验范围内均匀分布的一种试验设计方法，是部分因子设计的主要方法之一。它适用于多因素、多水平的试验设计场合。试验次数等于因素的水平数, 是大幅度减少试验次数的一种优良的试验设计方法。和正交试验设计相比，均匀设计给试验者更多的选择，从而有可能用较少的试验次数获得期望的结果。均匀设计也是电脑仿真试验设计(computer experiments)的重要方法之一，同时也是一种稳健试验设计(robust experimental design)。 70 年代以来，我国推广“正交设计”方法并取得丰硕的成果。然而当试验需考察的因素较多，且每个因素有较多的水平时，运用“正交设计”方法所需做的试验次数仍会较多，以至难于安排试验。设一个试验中有m个因素，它们各自取了n个水平．若用正交试验法来安排这一试验，欲估计某一因素的主效应，在方差分析模型中占n－1个自由度，m个因素共有m(n－1)个自由度．如果进一步考虑任两个因素的交互作用，共有 个这样的交互作用，每个占(n—1)2个自由度．上述两项自由度之和为m(n-1)＋1/2 m(m-1)(n-1)2，若高阶交互作用可以忽略，其试验数必须大于m(n-1)＋1/2 m(m-1)(n-1)2。例如，在一个5因素三水平的试验中，试验数必须大于5×2＋1/2·5·4·22＝50。在多数试验中上述的主效应和二因素间的交互作用可能不同时显著，若试验前已有足够的证据可忽略某些主效应或交互效应，则试验数可以适当地减少。可惜，在许多试验中，试验者在试验前并不十分清楚哪些主效应和交互效应可以忽略，这时试验者似乎只好选择做50次试验以上的方案了，于是，在文献中强烈推荐使用二水平试验，这时m(n-1)＋1/2 m(m-1)(n-1)2＝m+1/2 m(m-1) 当m增加时，其试验数增加的速度为m2阶，对大多数试验可以接受。众所周知二水平试验只能揭示响应和因素之间的线性关系，二水平试验只能拟合响应和因素之间的二次多项式关系。当响应和因素之间的关系为高次多项式或非线性关系时，就需要更高水平的试验这时方差分析模型要求的试验次数使试验者望而止步。 具体的例子是1978 年原七机部在进行某项产品的试验设计时，须考虑5 因素31 水平,且要求试验次数不能超过50 次。 5 因素31 水平可能的试验次数多达2 800 多万次，为研究其数学模型曾试用国外的方法，长时间得不到理想的结果，而运用“正交设计”方法，5 因素31 水平的试验次数为312＝961 。为解决该难题，我国著名的数理统计专家方开泰与数论专家王元合作，将数论理论成功地应用于试验设计问题中，创立了一种全新的试验设计方法──“均匀设计试验法”，运用该方法于上述的5因素31 水平的试验问题, 仅做31 次试验,其效果便接近于2 800 多万次的试验，成功地解决了该难题。 多年来，我国数学界在数论的理论研究与应用研究两方面都卓有成效“, 均匀设计”方法 的创立就是其中一个例子。10 多年来,“均匀设计”方法已广泛应用于国内的军工、化工、医 药、食品等领域,并取得显著的成效。在国际上“均匀设计”也已得到承认和应用，引起了国际数学界的重视。 本章介绍均匀试验设计的思想、方法、及数学处理。 7.2 正交设计法是从全面试验中挑选部分试验点进行试验,它在挑选试验点时有两个特点, 即“均匀分散,整齐可比”。“均匀分散”使试验点具有代表性,“整齐可比”便于试验的数据分析。 然而,为了照顾“整齐可比”,试验点就不能充分地“均匀分散”,且试验点的数目就会比较多(试验次数随水平数的平方而增加) 。“均匀设计”方法的思路是去掉“整齐可比”的要求,通过提高试验点“均匀分散”的程度,使试验点具有更好的代表性,使得能用较少的试验获得较多的信息。 均匀设计沿用近30 年来发展起来的“回归设计”方法,运用控制论中的“黑箱”思想，把整个过程看作一个“黑箱”，把参与试验的因素x1 , x 2 , ?, x n ,通过运用均匀设计法安排试验，作为系统的输入参数，而把实验指标(结果) Y 作为输出参数，如图71。 7-1 试验因素(输入) 与试验指标(输出) 系统 　在数学上可把输出参数Y 与输入参数x i ( i = 1 ,2 ,. . . , n) 的关系