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Romberg 算法 梯形法递推公式 梯形法递推公式 梯形法递推公式 举例 龙贝格 (Romberg) 加速 Richardson 外推加速法 梯形法的加速 Romberg 算法 举例 举例 作业 * * 4.1 Romberg 算法 数值分析及计算软件 Chap 4 数值积分与数值微分 太 大: 利用复化梯形公式、复化Simpson公式、复化Cotes公式等计算定积分时，如何选取步长 h ？ 计算精度难以保证 太 小: 计算量增大 解决办法：变步长算法 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k ，反复采用复化求积公式，直到所得到的计算结果满足指定的精度为止。 步长折半：[xi , xi+1/2] ， [xi +1/2 , xi+1] 将 [a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ， n=1 n=2 n=4 记 解： 例：用梯形法的递推公式计算定积分 , 要求计算精度满足 Cha4.2.m 程序演示 Cha41.m: 复化N-C公式 Cha42.m: 梯形法的递推 梯形法递推公式算法简单，编程方便 解决方法：龙贝格 (Romberg) 加速 但收敛速度较 慢 复化积分公式的渐近状态 梯形公式： 辛普森公式： Cotes公式： 思想：利用余项公式与积分的定义 定义 如果一种复化求积公式 满足下列关系 则称该求积公式是 p 阶收敛的. 有如下误差估计式 Romberg加速 梯形公式的加速 事后估计法 而 辛普森公式的加速 而 Cotes公式的加速 令 辛普森公式 Cotes公式 Romberg公式 上述加速过程不是出于偶然，而且可以继续进行下去。其理论保证是梯形法的余项展开式 定理：设 f(x)?C ?[a, b], 记 Tn = T (h), 则有 其中系数 与h无关 Richardson 外推算法 ① T1 =T0 (0) ② T2 =T0 (1) ③ S1 =T1 (0) ④ T4 =T0 (2) ⑤ S2 =T1 (1) ⑥ C1 =T2 (0) ⑦ T8 =T0 (3) ⑧ S4 =T1 (2) ⑨ C2 =T2 (1) ⑩ R1 =T3 (0) 记: : k 次等分后梯形公式计算所得的近似值 : m 次加速后所得的近似值 Romberg 算法是收敛的 例：计算定积分 Cha43.m 0.946082975 9 0.946082687 8 0.946081539 7 0.946076943 6 0.946058561 5 0.945985030 4 0.945690864 3 0.944513522 2 0.939793285 1 0.920735492 0 0.946083046 10 T0(k) k 例：用 Romberg 算法计算定积分 , 要求计算精度满足 Cha44.m 000000003 0003 00000000003 2 1 0 k 解：逐步计算可得 (k) T0 (k) T1 (k) T2 (k) T3 (k) T4 (k) T5