12_Fourier变换.ppt

§1.2 Fourier变换 已知, 若函数 f (t) 满足Fouriier积分定理的条件, 则在 f (t) 的连续点处, 有 还可以将 f (t ) 放在左端, F(w) 放在右端, 中间用双向箭头连接: 积分路线如图所示: 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数. 在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为 t =0)进入一单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流i (t)。以 q (t)表示上述电路中到时刻 t 为此通过导体截面的电荷函数(即累积电量)，则 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以 q (t) 表示上述电路中的电荷函数, 则 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即 如果我们形式地计算这个导数, 则得 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为了确定这样的电流强度, 引进一称为Dirac函数, 简单记成d－函数。有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决. 对于任何一个无穷次可微的函数 f (t)，如果满足 d－函数是一个广义函数，它没有普通意义下的“函数值”，所以，它不能用通常意义下“值的对应关系”来定义。在广义函数论中， d－函数定义为某基本函数空间上的线性连续泛函，但要讲清楚这个定义，需要应用一些超出工科院校工程数学教学大纲范围的知识。为了方便起见，我们仅把d－函数看作是弱收敛函数序列的弱极限。 则称de(t)的弱极限为d - 函数, 记为d ( t )，即 工程上将d -函数称为单位脉冲函数，可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示，这个线段的长度表示d -函数的积分值，称为d-函数的强度。 图例: 工程上将d -函数称为单位脉冲函数，可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示，这个线段的长度表示d -函数的积分值，称为d -函数的强度。 d-函数有性质 d-函数的Fourier变换为: d-函数除了重要的筛选性质外，还有一些性质： 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足Fourier积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件 例如常数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而它们的广义Fourier变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其Fourier变换就可以求出它们的Fourier变换. 所谓广义是相对于古典意义而言的, 在广义意义下, 同样可以说, 象函数F(w)和象原函数 f (t) 亦构成一个Fourier变换对。为了不涉及到- 函数的较深入的理论，我们可以通过 Fourier 逆变换来推证单位阶跃函数的 Fourier 变换。 若F(w)=2pd (w)时, 由Fourier逆变换可得 所以1和2pd(w)也构成Fourier变换对. 由上面两个函数的变换可得 例5 求正弦函数 f (t) = sinw0 t 的 Fourier 变换。 如图所示: 例 求正弦函数 f (t) = cosw0 t 的 Fourier 变换。 例 求函数 f (t) =cosa t cosb t 的 Fourier 变换。 在频谱分析中，Fourier变换F(w)又称为 f (t)的频谱函数, 而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱)。由于w是连续变化的，我们称之为连续频谱，对一个时间函数作Fourier变换，就是求这个时间函数的频谱。 补充： 例6 作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图 此外，振幅函数 |F(w)| 是角频率 w 的偶函数, 即 定义 为f (t)的相角频谱. 显然, 相角频谱j(w)是w的奇函数, de(t) 1/e e O ，或简记为 这就表明，d - 函数可以看成一个普通函数序列的弱极限。 其中 对任何ε 0，显然有 则由给出的d - 函数的定义，有 又由d -函数的定义，可以推出d-函数的一个重要结果，称为d -函数的筛选性质： ( f (t)是无穷次可微函数 ) 事实上， 由于f (t)的无穷次可微函数，显然 f (t)是连续函数， 按积分中值定理，有 所以， 由d - 函数的筛选性质可知，对于