1863 数学思想与方法.doc

数学概念及其教学 数学概念的意义 反映数学对象本质属性的思维形式叫做“数学概念”。 数学概念产生和发展的途径 （1）从现实模型直接得来； （2）经过多级抽象概括得来； （3）从数学内部需要产生出来； （4）把客观事物理想化和纯粹化得出； （5）根据有理论上存在的可能性而提出等 数学概念是发展变化的：原因一方面事物是发展变化的，另一方面人们的认识是不断深化的。如：自然数集（加零）→扩大的自然数集（加正分数）→算术数集（加负整（分）数）→有理数集（加无理数）→实数集（加虚数）→复数集 概念和词语密切联系：语词是概念的语言形式，而概念是语词的思想内容，两者密切联系，不可分割。概念和语词之间是一一对应的吗？ 数学概念的重要性：非常基本，也非常重要，判断由概念构成，推理由判断构成，论证由判断和推理构成，因此概念是其他思维形式的基础，是思维的细胞。 概念的内涵和外延 概念的内涵亦称内包：就是概念所反映的事物的本质属性的总和, 是概念的质的方面，它说明所反映的事物是什么样的。是指概念所反映的对象的特有属性、本质属性。 概念的外延亦称外包，指概念所反映的对象的总和（或范围），是概念的量的方面，它说明概念所反映的是哪些事物。 例：“△ABC的顶点” 内涵是指点的性质和其中任一点同在这个三角形两边之上这个性质； 外延是指 A、B、C三点的集合。 注： （1）数学概念的内涵和外延是在一定的数学科学体系中来认识的。 例如，角的概念在平面几何中和在平面三角中的内涵和外延均不同。 （2）概念的内涵和外延是发展的 （3）概念的内涵和外延关系密切、互相依赖。 概念间的关系（概念外延间的同异关系） 1、相容关系（两个概念外延之间至少有一部分重合） （1）同一关系（全同关系或重合关系）：外延完全重合，内涵可以不同。 例如： （一） 数0是扩大的自然数集中最小的数，又是正数 与负数的分界数，在数的运算中它又是两个 相等数的差等； （二） 等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角的平分线的外延都是同 一条线段，而内涵也各不相同。 注： 研究概念间的同一关系，可以对概念所反映的对象得到较深刻、较 全面的认识。另外，在推理证明中具有全同关系的概念可以互相代换，使 得论证简明。 从属关系（属种关系） 如果甲概念的外延 真包含乙概念的外延 ，如下图所示，那么，这两个概念具有从属关系。其中，外延较大的那个概念叫做属概念，外延较小的那个概念叫做种概念。这两个概念的外延 和 的关系可以写成 例如四边形和平行四边形是具有属种关系的概念；实数和有理数也具有属种关系的概念。在属种关系中，外延大的那个叫属概念，外延小的那个叫种概念（一个概念的属概念是否唯一，一个概念的种概念是否唯一？） 注意：一是种类概念之间具有相对性。二是要区分从属关系和全体与部分的关系。有的概念之间既有从属关系又有全体与部分的关系。有的却不然。例如,对数与它的首数、尾数之间的关系不是从属关系,只是全体与部分的关系。 3）交叉关系 如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么这两个概念具有交叉关系或者叫做部分重合关系，如下图。用集合符号表示概念的交叉关系，可设两个概念的外延分别是集合 和 集合，如果 是非空集合而且不是 ，那么这两个概念具有交叉关系。 例： （1）整数和整数 （2）等腰三角形和直角三角形 4）不相容关系（全异关系） 如果两个概念的外延间没有任何一部分重合的关系，那么这两个概念具有全异关系，这种关系又叫做“全异关系”或“排斥关系”。 全异关系又分为反对关系、矛盾关系和并列关系. 反对关系：两个概念的外延完全不同，而且 它们的外延之和小于其属概念的外延，如正有理 数和负有理数相对于有理数来说是反对关系。 矛盾关系：两个概念的外延完全不同，并且 它们的外延之和等于其属概念的外延。如有理数 和无理数相对于实数来说就是矛盾关系。 并列关系：指两个或两个以上的同一系列的类概念，同时对于它们共同的种概念之间的关系，外延无公共部分。 内涵和外延的反变关系 概念的内涵与外延这两个方面是相互联系、互相制约的。当概念的内涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系,称为反变关系。 例如,在四边形的内涵中,增加“两组对边分别平行”这