22_Laplace变换的性质.ppt

例10 求如下图所示的半波正弦函数 fT (t)的Laplace T 2 3T 2 5T 2 t T 2T O E fT(t) 变换。 这实际上是周期函数的 Laplace 变换的问题， 解 但也可以用延迟性质加以解决。由例9可得从 t=0 开始 的单个半正弦波的 Laplace 变换为 例10 求如下图所示的半波正弦函数 fT (t)的Laplace 变换。 解 从而 这是一个求周期函数 Laplace 变换的简单方法，即设fT (t) (t 0)是周期为T的周期函数，如果 例10 求如下图所示的半波正弦函数 fT (t)的Laplace 变换。 解 且 ，则 6. 初值定理与终值定理 若 证 由于已假定 根据Laplace变换的微分性质，有 ，且 存在，则 或写为 存在，故 亦必存在, 且两者相等，即 §2.2 Laplace变换的性质 本节将介绍 Laplace 变换的几个基本性质, 它们在 Laplace 变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求 Laplace 变换的函数都满足 Laplace 变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件。 1. 线性性质 若a, b是常数 则有 这个性质表明函数线性组合的 Laplace 变换等于各函数 Laplace 变换的线性组合。它的证明只须根据定义，利用积分性质就可推出。 2. 微分性质 若 则有 证 对右端积分利用分部积分法，可得 根据 Laplace 变换的定义，有 2. 微分性质 若 则有 证 一般地， 特别，当初值 时， 推论 若 ，则有 有 此性质使我们有可能将 f (t) 的微分方程转化为 F(s) 的代数方程，因此它对分析线性系统有着重要的作用，现在利用它推算一些函数的 Laplace 变换。 例1 利用微分性质求函数 f (t) =cos kt的Laplace 解 由于 则由推论可得 即 移项化简得 变换。 例 利用微分性质求 f (t) =sin kt的Laplace变换。 解 由于 则由推论可得 即 移项化简得 例2 利用微分性质，求函数 f (t)= tm 的Lapalce 解 由于 所以。 即 而 变换，其中m是正整数. ，而 解 所以 此外, 由 Laplace 变换存在定理, 还可以得到象函数 若 ，则 的微分性质； 例2 利用微分性质，求函数 f (t)= tm 的Lapalce 变换，其中m是正整数. 此外, 由 Laplace 变换存在定理, 还可以得到象函数 若 一般地，有 的微分性质； 证 ，则 因为 例3 求函数f(t)=t sin kt的 Laplace 变换. 解 同理可得 微分性质可知 ，根据上述象函数的 3. 积分性质 若 证 由上述微分性质，有 设 ，则有 即 这个性质表明了一个函数积分后再取Laplace变换等于这个函数的 Laplace 变换除以复参数 s。 ，则 此外，由 Laplace变换存在定理, 还可得象函数积分性质: 重复应用上式，就可得到： 若 ，则 或 一般地，有 例4 求函数 的Laplace变换. 解 因为 (见习题一的1(5))， 由积分性质 其中 如果积分 存在，按积分性质，取 s =0， ，则有 这与 Dirichlet 积分的结果完全一致。 则有 例如， 。 此公式常用来计算某些积分。 4. 位移性质 若 这个性质表明了一个象原函数乘以指数函数 的 Laplace 变换等于其象函数作位移 a。 证 ，则有 根据公式得 由此看出，上式右方只是在F(s)中把 s 换成 s-a，所以 例5 求 例6 求 解 已知 ，利用位移性质，可得 解 已知 ，由位移性质可得 例 求 解 已知 ，由位移性质可得 ，又t 0时 f (t) =0，则对于任一 5. 延迟性质 若 证 根据Laplace变换