现代控制理论基础第3版孙炳达4控制系统的稳定性分析.ppt

第四章 控制系统的稳定性分析 二、状态向量范数 符号 称为向量的范数， 为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为： 4.3 李雅普诺夫判稳第一方法 李氏第一法判稳思路： （间接法） 1、线性定常系统－特征值判断 2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统的特征值判断 4.4 李雅普诺夫判稳第二方法 1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即 。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。 2 ）实际系统很难找到一个统一的能量函数。 3 ）虚 构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。 4）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数 ，而 是负定的，这个系统就是稳定的。而 就是李氏函数。 判据1：设系统的状态方程为 为其平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。 2） 是负定的。 则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着 ，有 ，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 判据2：设系统的状态方程为 为其唯一的平衡状态， 如果有连续一阶偏导数的标量函数 存在，并且满足以下条件： 1） 是正定的。 2） 是半负定的。 3）对任意初始时刻 时的任意状态 ，在 时，除了在 时有 外， 不恒等于零。 则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 4.5 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 一、线性定常连续系统的稳定性分析 目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 的稳定性 注意：P为正定实对称矩阵。 解得： 根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k0，且k0 所以系统稳定的k值范围为0k6 尚辅网 / 主要内容 动态系统的外部稳定性 动态系统的内部稳定性 李雅普诺夫判稳第一方法 李雅普诺夫判稳第二方法 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 控制系统的稳定性，通常有两种定义方式： 1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。 2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。 外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。 不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。 稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。 4.1 动态系统的外部稳定性 有界输入，有界输出稳定性定义： 对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数 及一个标量 ，使得对于任意的 ，当系统的输入 满足 时，所产生的输出 满足 则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。 对于零初始条件的定常系统，设初始时刻 ，单位脉冲响应矩阵为 ，传递函数矩阵为 ，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使 的每一个元 满足 或者 为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数 的所有极点处在左半复平面。 4.2 动态系统的内部稳定性 系统的平衡状态 状态向量范数 李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种） 稳定 渐近稳定 大范围渐近