现代控制理论基础第3版王孝武第3章节.ppt

2. 含零点 辅助变量法： 即： 进行拉普拉斯反变换 选择系统的状态变量 3.4.5 连续系统离散化后的能控性与能观测性 线性定常系统方程为 （31） 离散化后的系统方程为 （32） 其中 T 是采样周期 定理3-19 如果线性定常系统（31）不能控（不能观测），则离散化后的系统（32）必是不能控（不能观测）。其逆定理一般不成立。 定理3-20 如果线性离散化后系统（32）能控（能观测），则离散化前的连续系统（31）必是能控（能观测）。其逆定理一般不成立。 定理3-21 如果连续系统（31）能控（能观测），A 的全部特征值互异， ，并且对 的特征值，如果 与采样周期的关系满足条件 （33） 则离散化后的系统仍是能控（能观测）的。 3.5 对偶原理 线性定常系统方程为 （34） 构造一个系统 （35） 系统（34）和（35）互为对偶系统。 （上面介绍了系统能控性和能观测性。从概念上和形式上都很相似。它给人们一个启示，即能控性和能观测性之间存在某种内在的联系。这个联系就是系统的对偶原理） （式（35）的系数矩阵为 ，输入矩阵为 ，输出矩阵为 ） 对偶系统具有两个基本特征 1. 对偶的两个系统传递函数矩阵互为转置 2. 对偶的两个系统特征值相同 对偶原理： 系统（34）的能控性等价于系统（35）的能观测性；系统（34）的能观测性等价于系统（35）的能控性。 例3-15 线性定常系统如下，判断其能观测性。 解 以上系统的对偶系统为 该对偶系统的能控性矩阵 对偶系统能控，根据对偶原理，原系统能观测。 有了对偶原理，一个系统的能控性问题可以通过它的对偶系统的能观测性问题的解决而解决；而系统的能观测性问题可以通过它的对偶系统的能控性问题的解决而解决。这在控制理论的研究上有重要意义。 3.6 能控标准形和能观测标准形 （36） 3.6.1 能控标准形 线性定常系统 设A的特征多项式 能控性矩阵 定理3-22 系统（36）能控，通过线性变换可以将其变成如下形式的能控标准形。 （37） 推论：具有能控标准形的系统一定能控。 （证明参见教材104页） 例3-16 已知能控的线性定常系统 （1）能控性矩阵 解 系统能控 （2）A 的特征多项式 （3）计算变换矩阵 P （4）计算 （5）能控标准形 3.6.2 能观测标准形 系统（36）的能观测性矩阵为 则系统能观测 （38） 定理3-23 系统（36）能观测，通过线性变换可以将其变成如下形式的能观标准形。 推论：具有能观标准形的系统一定能观。 变换矩阵可取为 （39） 补充定理：能控标准型系统和能观标准型系统互为对偶系统。 3.7 能控性、能观性与传递函数的关系 考察SISO线性定常系统 （40） 其传递函数为 （41） 传递函数的分子、分母分别为 可以看出，在没有零极点对消的情况下，传递函数的特征根和系统矩阵A 的特征值相同。 定理3-24 SISO系统 （40）能控又能观的充分必要条件是 不存在零、极点对消。 例3-17 线性定常系统方程如下，求系统传递函数，并且判断系统能控性与能观性。 解 传递函数为 能控性 能观性 可见，系统传递函数有零、极点对消，能控但不能观。 应当指出，定理3-24对MIMO系统不适用。举例说明如下。 例3-19 MIMO线性定常系统方程为 传递函数矩阵 能控性 能观性 可见，传递函数矩阵虽然有零极点对消，但是系统既能控又能观。这是因为极点(s-1)还剩一个，并未消失，只是降低系统重极点的重数。 （42） MIMO线性定常系统 定理3-25 若系统（42）的状态向量和输入向量之间的传递函数矩阵 的各行线性无关，则系统能控。 定理3-26 若系统（42）的输出向量和状态向量之间的传递函数矩阵 的各列线性无关，则系统能观。 3.8 系统的结构分解 一个不能控、不能观测的系统，从结构上来说，必定包括能控、不能控以及能观测、不能观测的子系统。如何按照能控性或能观测性进行分解呢？ 我们知道，线性变换不改变系统的能控性和能观测性。因此，可采用线性变换方法将其分解。这里必须解决3个问题： 1、如何分解？ 2、分解后系统方程的形式为何？ 3、变换矩阵如何确定？ 下面介绍结构分解问题。 线性定常系统 （43） 3.8.1 按能控性分解 定理3-27 若系统（43）不能控，且状态 有 个状态分量能控，则存在线性变换