现代控制理论赵光宙第3章节.ppt

这时二次型函数 是系统的一个李雅普诺夫函数，且当 时，有 , 所以平衡状态 是大范围一致渐近稳定的。 这与经典控制理论中关于采样控制系统的稳定性判据（特征值在 单位圆内）是一致的。 四、时变离散系统 设 为系统唯一的平衡状态，取二次型标量函数 P(k)为一致正定的实对称时变矩阵 函数的增量函数为： 同样记： Q(k)为实对称时变矩阵 其中P(0)是矩阵差分方程的初始条件，选取一个正定的实对称时 变矩阵Q(k) （例如简单地选Q(k)=I )，由上式解得P(k+1)，然后看它 是否为正定的实对称矩阵来判别系统在平衡点的渐近稳定性。 线性时变离散系统渐近稳定判定定理: 线性时变离散系统 的平衡状态 为 大范围渐近稳定的充要条件是对于任意给定的正定实对称矩 阵Q(k) ，必存在正定的实对称矩阵P(k+1)，满足矩阵方程： 解上述矩阵差分方程可得解为： 尚辅网 / 第三章 动态系统的稳定性及李雅普诺夫 分析方法 §1 稳定性基本概念 一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。 系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。 如果由非零初始状态 引起的系统自由运动 有界，即： 2．内部稳定性 考虑输入量为零时的线性系统 并满足渐近属性，即 ，则称该系统是内部稳定的。 它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平 衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。 二种描述都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它 们是完全等价的。 内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）建立，提 出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法， 二、李亚普诺夫稳定性基本概念 （一） 系统运动及平衡状态 1．自治系统 自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。 线性系统： 2．受扰运动 将自治系统在初始状态 条件下的解称为受扰运动。 就是系统的零输入响应。通常表示为 。 对非线性系统，一般有多个平衡状态。 3. 平衡状态 如果存在 ，对所有的t有 成立，称状态 为上述 系统的平衡状态。 ①若A非奇异， 唯一的平衡状态 ②若A奇异， 平衡状态,非唯一 通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于 线性定常连续系统的平衡状态有： 如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。 任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态， 所以讨论零平衡状态 的稳定性具有普遍意义。 可以将下式看成为状态空间中以 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 ；把上式视为以 为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 。球域 依赖于给定的实数 和初始时间 。 （二）稳定性定义 1. 稳定 设 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数 ， 都对应地存在另一实数 ，使得由满足式子 的任一初始状态 出发的受扰运动都满足 则称平衡状态 是稳定的。 从球域 内任一点出发的运动 对所有的 都不超越球域 。 如果 与 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 平衡状态 是稳定的几何解释： 一个二维状态空间中零平衡 状态 是稳定的几何解释 如右图 。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定。 不仅具有Lyapunov意义下的稳定，并且 则称平衡状态 为渐近稳定。 从球域 内任一点出发的 运动 对所有的 不仅不超越球域 ，而且当