利用函数的性质证明不等式毕业论文原稿.pdf

学校编码：15014 分类号 密级 学号：11104010110 UDC 本科毕业论文(设计) 利用函数的性质证明不等式 学生姓名：陈美雪 所属院部：数学与统计学院 专 业：应用数学 指导教师：马丽娜 2015年 5 月 1日 赤峰学院本科毕业论文(设计)原创性声明 兹呈交的毕业论文 设计 ，是本人在导师指导下独立完成的研究成果。本人在论文 ( ) (设计)写作中参考的其他个人或集体的研究成果 ，均在文中以明确方式标明。本人依法 享有和承担由此论文(设计)而产生的权利和责任。 声明 人 （签名）： 指导教师（签名）： 年 月 日 摘要：不等式是数学中不可缺少的工具之一，有许多不等式在数学研究中有着重要的作用。 在中学数学中证明不等式的方法有许多，但用初等数学知识证明不等式比较困难。本文将 证明不等式的若干方法集中在利用函数的性质，如单调性、拉格朗日中值定理、柯西中值 定理、泰勒公式、函数的极值与最值、函数的凹凸性来证明不等式，从而使不等式的证明 方法更加完善。 关键词 不等式、证明、方法 ： 一、利用函数的单调性 定理1 设函数f (x)在区间 上可导，则I f (x)在 上单调递增（减）的充分必要条件是I f (x)0(f (x)0). 定理2 若函数 在 上可导，则 在 上严格递增（递减）的充要条件是 f (x) (a,b) f (a,b) 1 对一切x(a,b)，有f (x)0(f (x)0). 2 在任意(a,b)子区间上f (x)0. 定理3 设函数f (x)在区间 上可微，若I f (x)0(f (x)0)，则f (x)在 上严格递增 （减 .I 例 1 证明不等式 x e 1x,x0. 证明：设 x ，则 x ，故当x0时， ， 严格递增；当x