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中国著名大学自主招生试题集锦
复旦大学2004年保送生考试数学试题(150分钟)2003.12.21
一、填空题(每题8分,共80分)
1.,则_________.
2.已知,则的范围是___________.
3.椭圆,则椭圆内接矩形的周长最大值是___________.
4.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出4只正好能形成2双,有____种取法.
5.已知等比数列中,且第一项至第八项的几何平均数为9,则第三项为______.
6.的所有整数解之和为27,则实数的取值范围是___________.
7.已知,则的最大值为____________.
8.设是方程的两解,则=__________.
9.的非零解是___________.
10.的值域是____________.
二、解答题(每题15分,共120分)
1.解方程:.
2.已知,,且,求.
3.已知过两抛物线C1:,C2:的交点的各自的切线互相垂直,求.
4.若存在,使任意(为函数的定义域),都有,则称函数有界.问函数在上是否有界?
5.求证:.
6.已知E为棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB的中点,求点B到平面A1EC的距离.
7.比较与的大小并说明理由.
8.已知数列、满足,且,又,,求 (1) ; (2) .
简单解答:
一、填空题:1. 2. 3.20 4.
二、解答题:
5.证明1:
=(
而
原式1+=
证明2:
原式〈
同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷
一、填空题(本大题共有8题,只要求直接填写结果,每题答对得5分,否则一律得零分,本
大题满分40分)
1.函数的单调递增区间是_______________________.
2.如图所示,为某质点在20秒内作直线运动时,速度函数的图象,则该质点运动的总路程s=_____(厘米).
3.设a与b是两条非相互垂直的异面直线,(与(分别是过直线a与b的平面,有以下4个结论:(1) b//(,(2) b((,(3) (//(,(4) (((,则其中不可能出现的结论的序号为__________.
4.设某地于某日午后2时达到最高水位,为3.20米,下一个最高水位恰在12小时后达到,而最低水位为0.20米。若水位高度h(米)的变化由正弦或余弦函数给出,则该地水位高度h(米)作为时间t(单位:时,从该日零时起算)的函数的表达式为_______________.
5.设(是第二象限角,=_____________________.
6.已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i,线段AB上的动点P对应复数Z,若复数z2对应点Q,点Q坐标为(x,y),则点Q的轨迹方程为________________________.
7.设有正数a与b,满足ab,若实数x1,y1,x2,y2,使x1+y1是a与b的算术平均数,x2·y2是a与b的几何平均数,则的取值范围是_________________.
8.从0,1,2,…,9这10个数码中随机抽出5个,排列成一行,则恰好构成可以被25整除的五位数的概率是_______________(用分数给出答案).
二、解答题(本大题共有5题,解答下列各题必须写出必要的步骤,本大题满分60分)
9.(本题满分12分)试利用三角函数求函数的最大值与最小值.
10.(本题满分12分)求证:对于任何实数a与b,三个数:|a+b|,|a-b|,|1(a|中至少有一个不小于.
11.(本题满分12分)设抛物线y=x2((2k(7)x(4k(12与直线y=x有两个不同的交点,且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖,试问:实数k应满足什么条件?
12.(本题满分12分)设四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,且PA⊥面ABCD.(1) 求证:直线PC⊥直线BD;(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E,如果三棱锥 E—BCD的体积取到最大值,求此时四棱锥P—ABCD的高.
13.(本题满分12分)设有抛物线y2=2px(p0),点B是抛物线的焦点,点C在正x轴上,动点A在抛物线上,试问:点C在什么范围之内时∠BAC是锐角?
上海交通大学2005年保送、推优生数学试题
一、填空题(每小题5分,共50分)
1.方程的两根满足,则p(_________(p(R).
2.,则x=________________.
3.已知n(Z,有,则n(______________.
4.将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开,分成两部分(如左图),将这6部分接于一个边长为的正六边形上(如下图),若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图,该多面体的体积为_____________.
5.
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