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复旦大学2004年保送生考试数学试题（150分钟）2003.12.21 一、填空题（每题8分，共80分） 1．，则_________． 2．已知，则的范围是___________． 3．椭圆，则椭圆内接矩形的周长最大值是___________． 4．12只手套（左右有区别）形成6双不同的搭配，要从中取出4只正好能形成2双，有____种取法． 5．已知等比数列中，且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项为______． 6．的所有整数解之和为27，则实数的取值范围是___________． 7．已知，则的最大值为____________． 8．设是方程的两解，则=__________． 9．的非零解是___________． 10．的值域是____________． 二、解答题（每题15分，共120分） 1．解方程：． 2．已知，，且，求． 3．已知过两抛物线C1：，C2：的交点的各自的切线互相垂直，求． 4．若存在，使任意（为函数的定义域），都有，则称函数有界．问函数在上是否有界？ 5．求证：． 6．已知E为棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB的中点，求点B到平面A1EC的距离． 7．比较与的大小并说明理由． 8．已知数列、满足，且，又，，求 (1) ； (2) ． 简单解答： 一、填空题：1. 2. 3.20 4. 二、解答题： 5．证明1： =（ 而 原式1+= 证明2： 原式〈 同济大学2004年自主招生优秀考生文化测试数学试卷 一、填空题（本大题共有8题，只要求直接填写结果，每题答对得5分，否则一律得零分，本 大题满分40分） 1．函数的单调递增区间是_______________________． 2．如图所示，为某质点在20秒内作直线运动时，速度函数的图象，则该质点运动的总路程s=_____（厘米）． 3．设a与b是两条非相互垂直的异面直线，(与(分别是过直线a与b的平面，有以下4个结论：(1) b//(，(2) b((，(3) (//(，(4) (((，则其中不可能出现的结论的序号为__________． 4．设某地于某日午后2时达到最高水位，为3.20米，下一个最高水位恰在12小时后达到，而最低水位为0.20米。若水位高度h（米）的变化由正弦或余弦函数给出，则该地水位高度h（米）作为时间t（单位：时，从该日零时起算）的函数的表达式为_______________． 5．设(是第二象限角，=_____________________． 6．已知复平面上点A与点B分别对应复数2与2i，线段AB上的动点P对应复数Z，若复数z2对应点Q，点Q坐标为(x,y)，则点Q的轨迹方程为________________________． 7．设有正数a与b，满足ab，若实数x1,y1,x2,y2，使x1+y1是a与b的算术平均数，x2·y2是a与b的几何平均数，则的取值范围是_________________． 8．从0,1,2，…,9这10个数码中随机抽出5个，排列成一行，则恰好构成可以被25整除的五位数的概率是_______________（用分数给出答案）． 二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，本大题满分60分） 9．（本题满分12分）试利用三角函数求函数的最大值与最小值． 10．（本题满分12分）求证：对于任何实数a与b，三个数：|a+b|,|a-b|,|1(a|中至少有一个不小于． 11．（本题满分12分）设抛物线y=x2((2k(7)x(4k(12与直线y=x有两个不同的交点，且交点总可以被一个半径为1的圆片所同时遮盖，试问：实数k应满足什么条件？ 12．（本题满分12分）设四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥面ABCD．(1) 求证：直线PC⊥直线BD；(2) 过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，如果三棱锥 E—BCD的体积取到最大值，求此时四棱锥P—ABCD的高． 13．（本题满分12分）设有抛物线y2=2px(p0)，点B是抛物线的焦点，点C在正x轴上，动点A在抛物线上，试问：点C在什么范围之内时∠BAC是锐角？ 上海交通大学2005年保送、推优生数学试题 一、填空题（每小题5分，共50分） 1．方程的两根满足，则p(_________（p(R）． 2．，则x=________________． 3．已知n(Z，有，则n(______________． 4．将3个12cm×12cm的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分（如左图），将这6部分接于一个边长为的正六边形上（如下图），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，该多面体的体积为_____________． 5．