作辅助线方法--中线倍长法和截长补短法学.doc

几何证明-常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ (AB+AC) 分析：要证明AD ﹤(AB+AC)，就是证明AB+AC2AD，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC2AD中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。 证明：延长AD至E，使DE=AD，连CE，则AE=2AD。 在△ADB和△EDC中， ∴△ADB≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE中， AC+CE＞AE ∴AC+AB＞2AD，即AD ﹤ (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 练习:中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 例2: 中线倍长辅助线作法 △ABC中 方式1： 延长AD到E， AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F， 延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD 例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 过B点作AC的平行线，交AD的延长线于E点，因D点是BC的中点，所以ADC≌△EDB，从而：AD=ED，EB=AC=7，AE=2AD，在ABE中，有：BE-ABAEBE+AB7-3AE7+342AD102AD5因此，中线AD的取值范围是：2AD5。例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 证明:作EM平行AB,交BC的延长线于M,则:EMC=∠B;∵AB=AC.∴∠B=∠ACB=∠ECM.∴∠EMC=∠ECM,得EM=EC.EM∥AB.∴∠BDF=∠MEF;又DF=EF,BFD=∠MFE.∴⊿BDF≌⊿MEF(ASA),BD=EM=CE 练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 证明：延长AD到G,使AD=DG连结BG得:DGB在ADC,△GDB中DC=DB(点D为中点)ADC=∠GDB(对顶角)AD=GDADC≌△GDB(SAS)∴∠ACD=∠GBD∴AC‖GB(内错角相等,两直线平行)DAC=∠DGB(内错角)AC=BG=BE∴∠DGB=∠DEB(等边对等角)而DEB=∠FEA(对顶角)DGB=∠DEB=∠FEA=∠FAE(等量代换)FA=FE(等角对等边)例5：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证：AE平分 练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 证明：∵∠BDA=∠BAD∴AB=BD 又CD=AB∴AB:BC=1:2∵E是中点BE:BD=BE:AB=1:2三角形ABE和三角形ABC中角B相同，2边成比例，2三角形相似C=∠BAE 作业： 1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论 结论：AB=AF+ CF证明：分别延长AE,DF交于点ME是BC中点BE=CE∵AB//CD∴∠BAE=∠M在ABE与MCE中BAE=∠M∠AEB=∠MECBE=CE∴△ABE≌△MCE(AAS)