2015年全国高中数学联合竞赛试题与解答(B卷).doc

2015年全国高中数学联赛（B卷）（一试） 填空题（每个小题8分，满分64分 1：已知函数，其中为常数，如果，则的取值范围是 2：已知为偶函数，且，则的值为 3：某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系为： ，其中为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则的最大值是 4：设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，则 5：已知数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，则使得 的最小正整数的值是 6：设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和 ，若是单元集，则的值为 7：设为椭圆上的动点，点，则的最大值为 8：正2015边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点， 则的概率为 解答题 9：（本题满分16分）数列满足对任意正整数，均有 求的通项公式； 如果存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围 10：（本题满分20分）设为四个有理数，使得： ，求的值 11：（本题满分20分）已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，求该椭圆的离心率的取值范围 （加试） 1：（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数都有： ，并确定等号成立的充要条件 2：（本题满分40分）如图，在等腰中，，设为其内心，设为内的一个点，满足四点共圆，过点作的平行线，与的延长线交于 求证： 3：（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组满足： 4：（本题满分50分）给定正整数，设是中任取个互不相同的数构成的一个排列，如果存在使得为奇数，或者存在整数 ，使得，则称是一个“好排列”，试确定所有好排列的个数。 2015年全国高中数学联赛（B卷）解答 （一试） 填空题（每个小题8分，满分64分 1．已知函数，其中为常数，如果，则的取值范围是 ． 答案：（-2,+∞）．解：，所以，解得：． 2．已知为偶函数，且，则的值为 ． 答案：2015．解：由己知得，即=2015． 3．某房间的室温（单位：摄氏度）与时间（单位：小时）的函数关系为： ，其中为正实数，如果该房间的最大温差为10摄氏度，则的最大值是 ． 答案：．解：由辅助角公式：，其中满足条件，则函数的值域是，室内最大温差为，得． 故,等号成立当且仅当． 4．设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，则 ． 答案：．解：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1． 则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此∠A1OC1=, 又△OA1C1是等边三角形．故A1O= A1C1=，所以 ． 5．已知数列为等差数列，首项与公差均为正数，且依次成等比数列，则使得 的最小正整数的值是 ． 答案：34．解：设数列的公差为,则．因为依次成等比数列，所以，即．化简上式得到：．又，所以．由 ． 解得． 6．设为实数，在平面直角坐标系中有两个点集和 ，若是单元集，则的值为 ． 答案：．解：点集A是圆周，点集B是恒过点 P （-1,3）的直线及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线．故圆的圆心 M (1, l）到直线l的距离等于圆 的半径，故．结合图像，应取较小根． 7．设为椭圆上的动点，点，则的最大值为 ． 答案：5．解：取F ( 0 , l )，则 F, B分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，|PF|+|PB|=4．因此，| PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l= 5． 当P在AF延长线与椭圆的交点时，|PA|+|PB|最大值为5． 8．正2015边形内接于单位圆，任取它的两个不同顶点， 则的概率为 ． 答案．解：因为，所以 ． 故的充分必要条件是，即向量的夹角不超过． 对任意给定的向量，满足条件的向量可的取法共有： 种，故的概率是：． 解答题 9．（本题满分16分）数列满足对任意正整数，均有 求的通项公式； 如果存在实数使得对所有正整数都成立，求的取值范围． 解： (l)在中令可以得到的递推公式：． 因此的通项公式为： ．8 分 （事实上，对这个数列,，并且 ． 所以 是数列的通项公式． (2)注意到：，所以 ． 故,并且，因此的取值范围是．16 分 10．（本题满分20分）设为四个有理数，使得： ，求的值． 解：