全局标度律分析方法.doc

有限雷诺数湍流的全局标度律分析* 陈凯1，朱虹宇1，佘振苏1,2 1北京大学工学院，湍流与复杂系统国家重点实验室，100871 2Department of Mathematics, University of California, Los Angeles, Los Angeles, CA 90095, USA 摘要 描述速度结构函数与空间尺度l之间幂次关系的标度律问题是过去几十年湍流统计理论中的核心问题。从1941年Kolmogorov提出著名的线性标度律以来，已出现了诸多不同的标度律分析方法和唯象模型。但这些模型只适用于惯性区，因此，所发展的方法都存在需进行标度区间选择的局限性。实际的湍流场具有有限的雷诺数，湍流脉动结构具有与尺度相关的间歇性特征。本文提出了一种对速度结构函数的尺度和阶数依赖性进行全局刻画的新的分析方法。这里，“全局”意味着涵盖了从积分尺度到耗散尺度的全部尺度，以及速度结构函数的各收敛阶数。该方法的核心思想在于把速度结构函数的对数表达为和的无穷展开多项式，而所得的多项式展开系数构成对湍流脉动状态的新的参数描述。这一描述可以类比于傅立叶谱分析的谱空间系数，它们包含了湍流脉动结构的多尺度标度律信息，其线性项系数就是高雷诺数下的惯性区标度律，但将标度律概念推广到了全尺度和更高阶的范围。特别是对尺度的依赖性有助于识别湍流场中的特征尺度如瓶颈尺度，惯性区中心尺度等。我们把这种具有一般性的标度律分析框架称为“全局标度律分析”。本文将这种方法用于直接数值模拟得到的各项同性湍流场的分析，明确地识别出惯性区范围、瓶颈效应尺度等特征尺度，并结合log-Poisson模型进一步分析了依赖于尺度的湍流脉动结构的间歇性效应及其对应的物理意义。 关键词：全局标度律、特征尺度、间歇性 引言 由两点速度差的矩定义的速度结构函数是描述湍流的一个重要物理量。对于高雷诺数湍流来说，速度结构函数与空间尺度l之间存在幂次关系，也就是通常所谓的标度律，而幂指数则称为标度指数。1941年，Kolmogorov根据量纲分析[1]，得出在一定前提假设下有线性标度律成立。然而，许多实验和计算却得出了非线性的标度指数。 在有限雷诺数条件下，速度结构函数的统计特征依赖于均匀各项同性湍流中最重要的特征尺度耗散尺度和积分尺度L。而在真实的非均匀湍流，诸如边界层、混合层等流动中，还需要考虑更多的特征尺度[2][3]。在这些情况下，标度律实际上都只是在特定尺度区间的一种较好的近似。1993年，Benzi等人提出的扩展自相似分析方法(ESS)[4]是一种行之有效的对有限雷诺数湍流进行标度分析的方法，但仍然存在标度区间选择等局限。有鉴于此，发展一种包含所有尺度的标度律分析方法，使其不依赖于惯性区的尺度选择，并能够全面反映湍流脉动结构随尺度的演化特征就显得非常有必要了。 本文中，我们提出对速度结构函数的尺度和阶数依赖性进行全局刻画的一种分析方法。“全局”意味着这种刻画涵盖了从积分尺度到耗散尺度的全部尺度，以及VSF的各收敛阶数。通过多项式展开系数对湍流标度特征进行描述。这种标度律分析是一种依赖于尺度的标度律，因而有助于识别湍流场中的特征尺度如瓶颈尺度[5]，惯性区中心尺度等。我们把基于这种一般性的标度律分析框架称为“全局标度律分析”。本文将这种分析方法用于直接数值模拟10243的各向同性Navier-Stokes湍流[6]，并将全局标度律分析方法与标度律模型如log-Poisson模型相配合获得湍流场的动力演化特征。 二、全局标度律分析方法 引入尺度，令，作为在尺度参量，阶数参量下依赖于的函数，其中表示p阶速度结构函数。不失一般性，可以表达为一系列多项式的函数： 其中是展开系数，而这一系列参数描述了的性质。 由定义的从到 的“多项式变换”，是本文的重点。实际上，我们对k和n都选取有限截断；通常，，这样通过最小二乘法可以得到最佳系数，这一拟合过程可通过数值计算软件很方便的实现。定义截断误差 其中 对各项同性湍流的数据[6]进行上述展开，截断误差。说明这样的多项式展开较好的描述了速度结构函数原来的特性。如果尺度和在惯性区，就有 其中依赖于处的单点统计分布，是常数。当分析扩展到包含各种大小特征尺度的整个尺度空间，即可获得具有一般意义的标度律。相等，可得 其中，