积分及应用.ppt

第三章 积分及应用  主要内容 §3.1 原函数与不定积分 1. 原函数与不定积分的概念 §3.2 不定积分的计算 （简单计算） 2.第一换元法 定理 若u为自变量时，有 §4.3 定积分的概念与性质 （定积分定义及计算性质） 1.定积分的定义 无论区间的分法如何， ci在[xi-1, xi]上的取法如何， 如果当最大区间的长度 由定义有以下性质： 当 a b 时 2.定积分的基本性质 定积分的线性性质： 设函数f(x)在[a, b]上可积，且 §3.4 定积分的计算 （简单计算，第一换元法） 设函数 f (x)在区间[a, b]上连续，则函数 即 2.微积分学基本定理与定积分的计算 定理（微积分学基本定理） §3.5 定积分的应用 （面积，旋转体体积，经济应用，现值问题） 例 求椭圆 2. 旋转体的体积 旋转体 3. 经济应用问题举例 例 ： 已知生产某种商品x件时的边际收入为： 解 ： 因为R(0)=0,所以产量为1000件时的总收入为： 产量为1000件时的平均收入为： 例 已知某产品每天生产x单位时，边际成本为C?(x)=0.4x+2（元/单位），其固定成本是20元，求总成本函数C(x)。如果这种商品规定的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L(x)。并问每天生产多少单位时获得的总利润最大？ 4.现值问题： 现值计算式： n年年末资金流量总和的现值 现值示意图： 现值应用例 例37： 题解： 解： §3.6 极限、导数、不定积分及定积分的关系 §3.7* 二重积分及几何应用 1. 二重积分的概念 2. 二重积分的计算 例 计算二重积分 例 ： 计算 例 求由曲线以及直线所围成的平面图形（见下图）的面积S。 dV为下图中阴影部分的小矩形绕x轴旋转所成的正圆柱体的体积，即体积微元 旋转体的体积V： 的上半部分与x轴所围成的曲边梯形绕x轴 旋转形成的椭球体的体积。 例： 求椭圆 试求生产此种商品1000件时的总收入和从1000件到2000件所增加的收入，以及产量为1000件时的平均收入和产量从1000件到2000件的平均收入。 （ 元/件） 产量从1000件到2000件所增加的收入为： 产量从1000件到2000件时的平均收入为： （元） （元） 总利润函数为： 由L?(x)=-0.4x+16-0，得x=40。 解：总成本函数： 又因为L??(x)=-0.40 ，所以，每天生产40单位的产品可获得最大利润，最大利润为： L(40)=300（元） 题解 连续复利问题 就是 从0到n 的定积分 现值计算例 例?36 如连续收益流量每年为?7?500?元，持续?3?年，并且年利率为?7.5%，问其现值是多少？ 解 由题意，收益流量 元，故其现值为 （元）． 故现值近似为20?150元. 显然比7?500×3?=?22?500少。 若购车营运出租，一辆车为?11?万元，若租车营运每月的租金为?1?000?元，此车使用寿命为?10?年，在每年利率为?2%?的情况下，按连续复利计算，问采用那种方式更为合算？(p.98) 从表面上看一年租金f(t)=1.2(万)，10年租金12万元，但与购车的11万元是不能比较的，因为11万元是现值，而租车的12万元不是现值，后者应该化为现值才可比较，事实上， （万元）， 牛顿-莱不尼兹公式揭示了不定积分和定积分的内在联系，同时解决了定积分的计算问题。因此，牛顿-莱不尼兹公式在微积分理论中有着重要的地位。也因此称为微积分学基本定理。 其几何意义为曲顶柱体的体积。 即 * * 不定积分，定积分计算及应用 §3.1 原函数与不定积分 §3.2 不定积分的计算 §3.3 定积分的概念与性质 §3.4 定积分的计算 §3.5 定积分的应用 §3.6 极限、导数、不定积分及定积分的关系 §3.7 * 二重积分及几何应用 (sinx)?=cosx，cosx是sinx的导数，我们称sinx是cosx的原函数。 定义 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果存在F(x)，使得F?(x)= f(x)，?x?(a, b)，那么称F(x)是f(x)的一个原函数，而f(x)的全体原函数称为f(x)的不定积分，记作： 求原函数与求导数是互为逆运算 或 或 反过来 2. 不定积分的几何意义 不定积分 ? f(x)dx 在几何上表示函数f(x)的积分曲线族 y=F(x)+C。这族曲线的特点是，它在横坐标相同的点处，所有的切线都是彼此平行的。