说f是左可逆函数.ppt

*/64 作业23 11.11 11.13 11.22 11.35 阿贝尔（Abel,Niels Henrik,1802-1829） 阿贝尔, 挪威数学家。16岁时阿贝尔写了一篇解方程的论文。 1823年，他发表了第一篇论文，是关于用积分方程求解古老的“等时线”问题的。这是对这类方程的第一个解法，开了研究积分方程的先河。 1824年，他解决了用根式求解五次方程的不可能性问题。这一论文寄给了高斯，但是高斯连信都未开封。 1826年，阿贝尔来到巴黎，他会见了柯西、勒让德、狄利赫莱和其他人，但人们并没有真正认识到他的天才。撰写了“关于一类极广泛的超越函数的一般性质”的论文，提交给巴黎科学院。可是，负责给阿贝尔审稿的柯西把论文放进抽屉里，一放了之。（这篇论文原稿于1952年在佛罗伦萨重新发现） 阿贝尔原希望回国后能被聘为大学教授，但是他的这一希望又一次落空。他靠给私人补课谋生，一度当过代课教师。 由于过渡疲劳和营养不良，阿贝尔感染了肺结核。 1829年4月6日去世。作为命运捉弄人的是，在他死后的第二天，克莱尔写信给阿贝尔“...我国教育部决定招聘您为柏林大学教授...，一个月之内就能发出招聘书...。”这封信还提到，希望阿贝尔能尽量用最好的药物治疗，不要考虑费用支出。 我们常说阿贝尔积分、阿贝尔积分方程、阿贝尔函数、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔收敛判别法、阿贝尔可和性。很少有几个数学家能使他的名字同数学中的这么多概念和定理联系在一起。 这个定理告诉我们群的定义条件可以减弱，但实际上表面减弱的定义与原定义是等价的。为了方便起见，我们仍用原定义条件。 */64 命题 设（G, *）是一个有限群。a是G的元素，o(a)=n。 证明： ak=e当且仅当n|k。 */64 例6(p183) 设（G，·）是一个交换群，对于任意的a，b?G，若 o(a)=n，o(b)=m，（n，m）=1， 则 o(a·b)=n·m。 证明：显然（a·b）nm=anm·bnm =（an）m·（bm）n=em·en=e。 对于任意正整数，若（a·b）k=e。 则 ak·bk=e，所以有（ak·bk）m=em=e，即 （ak）m·（bk）m=e， 因为 bkm=e, 所以 akm=e。 因为 o(a)=n，所以 n|k·m，又（n，m）=1， 所以 n|k。同法可证 m|k。 又（n，m）=1，所以 m·n|k。故 o(a·b)=m·n。 */64 例5(p143) 对于普通乘法来说（G，·）是一个群。 容易验证： ε13=1，而ε12≠1 ∴ o(ε1)=3， 同理 o(ε2)=3。 ε1 · ε2=1 成对出现！ */64 例 设(A,*)是群, |A|=2n, n?I+。证明：在A中至少存在a≠e，使得 a*a=e。其中e是幺元。 证明： 对于x?A, 有 x-1?A, 即有： x*x-1=x-1*x=e. (1) 如果x≠x-1, 即 x*x ≠ e, x与x-1互为逆元，成对出现。所以，不以自身为逆元的元素个数为偶数。 (2) 另一种情况是 x*x=e。幺元的逆元就是它本身。因为|A|为偶数，所以至少存在一个a≠e，使得 a*a=e。 */64 命题 群（G，*）中的任一元素和它的逆元具有相同的阶。 证明： 设G的元素a具有有限阶n，即 an=e。因此， (a-1)n = (a-1)n*e = (a-1)n*an = (a-1)* ?*(a-1)*a* ?a = e 如果(a-1)的阶为m, 则 m ≤n 另一方面，由(a-1)m=e，可以得到 am=e 因而 n ≤m 所以 n=m. */64 例 在一个有限群中, 阶大于2的元素个数一定是偶数。 证明： 设（G, *）是一个有限群，a是G的元素。 若o(a)=2, 则 a*a=e, 即 a-1=a。 若o(a)2, 则必有 a-1≠a。不妨设o(a)=n2, 则有 an=e， 于是 (a-1)n=e，即元素a与它的逆元的阶相同（实际需要严格证明的，见上页幻灯片）。 即阶大于2的元素与它的逆元是成对出现的，因此阶大于2的元素个数一定是偶数。 */64 例 设（G，*）是一个群，如果对于任意的a,b?G,都有 a3*b3=(a*b)3