周道祥弹性力学 第七章.ppt

* * y x z 第七章 空间问题的基本理论 §7-1平衡微分方程 应力分量： {?}={?x;?y;?z;?xy;?xz;?yz} 体力分量： {X}={X;Y;Z} 在物体内的任意一点P，取PA=dx，PB=dy，PC=dz，割 取一平行六面体，研究应力逐点变化的规律。 t xy t xz t yx t zx t yz t zy s x s y s z x y z 0 Z X Y 根椐平衡条件： 可得类似表达式，整理并两边除以 ，注意到剪应力互等关系，得： （7-1） 由对三根轴的合力矩分别为零，可证明剪应力互等。 （7-1）为空间问题的平衡方程。 独力未知函数为6个，平衡方程数目为3个，问题是超 静定的。须考虑几何、物理方面关系。 §7-2几何及物理方程 平面问题中，通过研究度oxy平面内平行于x轴、y 轴 的线元dx和dy的变形得到几何方程，若用同样的方法分 析oyz、ozx两平面内相应线元的变形，可得类似的方程。 在小变形情况下，在推导过程中，忽略第一次变形在以后 变形过程中的影响。可得下式： （7-8） 如用矩阵表示： 一、几何方程 应变列阵： 几何方程： （7-8) 二、变形相容方程（协调方程） 空间中，不同平面间应变分量的关系。即变形连续 性条件。 其中左边三个形式上是类似的，第一个为平面问题的 连续性方程。（推导见§2-8） 右边三式可按第一式由x?y ? z ? x轮换字母获得。 三、物理方程： (广义虎克定律） （7-12） 若： 则：物理方程用矩阵表示： （7-12A） 式中： 用应变表示应力： 方程用矩阵表示： 式中[D]为弹性矩阵表示为： 注意： [D]=[C]-1 四、体积应变： 由（7-12A)： 令：σx+ σy +σz=Θ ?体积应力 ?体积应变 (7-13) 物理方程的另一形式： 由： 解出： 将（7-13）代入后： (7-13) 同理有其他： 空间问题： 基本未知函数15个： 应力分量（6个）： 位移分量（3个）： 应变分量（6个）： 基本方程15个： 平衡微分方程3个（7-1）；几何方程6个（7-8）；物理 方程6个（7-12）。加上边界条件可解空间问题。 （7-14） §7-3物体内任一点的应力状态 一、任一平面上的应力： n x y z P 设任一点P的6个应力分量已知 求：经过P点的任一 斜截面的应力 设平面为ABC,外法线为 n，其方向余弦为： A B C x y z C A B n 设三角形ABC面积为： P 则： 若：ABC面上的总应力为Sn 其在坐标轴上的投影为： Sn 由四面体PABC的平衡 （7-2） 求ABC面上的正应力与剪应力： 将Xn ,Yn, Zn向n轴投影： 将（7-2）代入，可得其正应力公式： （7-3） 其剪应力： （7-4） 二、弹性体的应力边界条件： 当面ABC为物体的边界面时，则其应力分量 成为面力分量 由 （7-5） 其中： 例：已知受力物体中某点的应力分量：σx=0、σy=2a、 σz=a 、 τxy=a、τyz=0、τzx=2a。试求作用在过此 点的平面x+3y+z=1上的沿坐标轴方向的应力分量， 及该平面上的正应力、剪应力。 解：1）求平面x+3y+z=1的法线方向余弦 由： 2）求应力分量在坐标轴上的投影 由：（7-2） 3）求该平面上的正应力、剪应力： 由： （7-3） 或： 注：平面上总应力 §7-3主应力、最大与最小的应力 在计算任一平面上的应力时，方向余弦l,m,n可变化，但 均为有限值，故必存在某个平面，其上正应力取得极值。 一、主平面、主应力、主方向 主平面：正应力取得极值的平面。 主应力：主平面上的正应力。 主方向：主应力的方向，也称应力主向。 在主平面上，正应力取极值、剪应力为零。 二、主应力的确定： * * * * *