离散频谱校正技术.doc

三、离散频谱校正技术 经FFT得到的离散频谱其幅值、相位和频率都可能产生较大的误差。从理论上分析，加矩形窗时单谐波频率的最大误差可达36.4％，即使加其它窗时，也不能完全消除此影响，如加Hanning窗时，只进行幅值恢复时的最大误差仍高达15.3%，相位误差更大，高达90度。 目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：第一种方法是离散频谱能量重心校正法，第二种方法是对幅值谱进行校正的比值法，第三种方法是FFT+DFT谱连续细化分析傅立叶变换法，第四种方法是相位差法，这些方法各有其特点。在相位差校正法中，有时移法、缩短窗长法和综合法。 1．比值校正法 这种方法利用频率归一化后差值为1的主瓣峰顶附近二条谱线的窗谱函数比值，建立一个以校正频率为变量的方程，解出校正频率，进而进行幅值和相位校正。解方程求校正频率的方法是多样化的，直接导出公式的方法称比值公式法，利用迭代求解的方法称为比值迭代公式法，用有哪些信誉好的足球投注网站求解的方法称比值峰值有哪些信誉好的足球投注网站法。研究表明，加Hanning窗的比例校正法精度非常高，频率误差小于0.0001，幅值误差小于万分之一，相位误差小于1度。 （1）频率校正 频率校正即求出主瓣中心的横坐标。设窗函数的频谱函数为，对称于轴，见图3.1.1。对于任一，窗谱函数为，离散频谱为；对于任一，窗谱函数为，离散频谱为，构造v为间隔为1的两点、的比值函数，由、、和就能求出。由于f(x)的函数表达式为已知，故可构造一函数 (3.1.1) v是间隔为1的两点的比值，是x的函数，对上式解出其反函数： (3.1.2) 即求解谱线校正量，这种方法称为比值公式法。 校正频率为： (3.1.3) 式中，为谱线号，为分析点数，为采样频率。 （2）幅值校正 设窗函数的频谱模函数为，主瓣函数为： (3.1.4) 这就是信号频谱与窗函数卷积的结果，式中，A为真实幅值，对应主瓣中心，现将，代入式(3.1.4)得： (3.1.5) 式中，故可解出A值： (3.1.6) （3）相位校正 谱分析所用窗函数都不是对称于轴的，都要向右平移点，其频谱函数相对于轴来说有一个相移因子，相移角为： (3.1.7) 这表明窗函数的相位是线性的(图2.3.2)。 信号频谱函数与窗函数的频谱函数作复卷积时是复数相乘，相位角相加。由图5.2.3可以看出，频率误差为半个谱线间隔时，相位误差将达到，这说明FFT的实部与虚部所得到的相位如果不加校正则完全是不能用的。 由频率校正得到谱线校正量后，相位校正量为： (3.1.8) 当实部为，虚部为时，真实相位角为 (3.1.9) 窗函数都具有相同的相位校正公式。 （4）几种典型窗函数的比值校正 a. 矩形窗的比例公式校正方法 矩形窗的定义为： (3.1.10) 其频谱函数为： (3.1.11) 的取值范围为[-1,+1]区间，当，，所以存在下列简化条件： (3.1.12) 由以上简化条件，将归一化频率，带入(3.1.11)，同时用替换得其频谱模函数为： (3.1.13) 根据式(3.1.10)和式(3.1.13)构造如下的修正比例函数： (3.1.14) 由上式可以求出频率修正量： (3.1.15) 式(3.1.14)也可以直接变为： (3.1.16) 上式表明，在式(3.1.13)所代表的曲线上任取两点、，当时，两点都在主瓣内，就相当于谱线抽样的情形，见图3.1.2，于是可得矩形窗的重心定理：幅值谱主瓣内两条相邻谱线的重心为主瓣中心，对应的频率为信号的准确频率。 将式(3.1.15)代入式(3.1.6)，可得矩形窗的幅值校正公式： (3.1.17) 由式(3.1.9)可知矩形窗的相位角，当N很大时，，故仍可用式(3.1.8)和式(3.1.9)进行相位校正。 b. 哈宁(Hanning)窗的比例公式校正方法 哈宁窗的定义为： (3.1.18) 其频谱函数为： (3.1.19) 式中，将归一化频率和式(3.1.12)的简化条件代入式(3.1.19)，并用替换得其频谱模函数为： (3.1.20) 式(3.1.20)中，当时，；当时，，其图形如图3.1.3所示，主瓣宽度为4个谱线间隔，(-2，+2)区间为主瓣。 令，则式(3.1.20)可写为： 将上式代入式(3.1.1)构造如下修正函数： (3.1.21) 由于哈宁(Hanning)窗，则，上式右边第二项为1，这时有：