第九章 线性系统的状态空间分析与综合习题.doc

第九章 线性系统的状态空间分析与综合 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为 ，，，； 。 ⑴ 设状态变量，，，输出量，试建立其动态方程； ⑵ 设状态变量，，，输出量，试建立其动态方程； ⑶ 设，确定两组状态变量间的变换矩阵。 解：⑴ 由传递函数得 ，动态方程为 ，其中； ⑵ 由微分方程得 ，即 ，其中 ； ⑶ 由两组状态变量的定义，直接得到。 设系统的微分方程为 其中为输入量，为输出量。 ⑴ 设状态变量，，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换，，试确定变换矩阵及变换后的动态方程。 解：⑴ ，； ⑵ ，；；，，； 得，；，。 设系统的微分方程为 其中、分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即为友矩阵)及可观标准型(即为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为， ；； 可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为， 已知系统结构图如图所示，其状态变量为、、。试求动态方程，并画出状态变量图。 解：由图中信号关系得，，，，。动态方程为 ，； 状态变量图为 已知双输入双-输出系统状态方程和输出方程 ，， 写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。 解：状态方程 ，； 状态变量图为 已知系统传递函数为 ， 试求出可控标准型(为友矩阵)、可观标准型(为友矩阵转置)、对角型(为对角阵)动态方程。 解：；可控标准型、可观标准型和对角型依次为 ；；。 已知系统传递函数为 ， 试求约当型(为约当阵)动态方程。 解：；，。 已知矩阵 , 试求的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将约当化。 解：特征方程，即；特征值、、、； 特征向量依次对应矩阵的列，所求变换矩阵为； ；；。 已知矩阵 ， 试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数(即状态转移矩阵)。 解：幂级数法求解， ；； 拉普拉斯变换法求解， ；。 求下列状态方程的解： 。 解：，得到 。 已知系统的状态方程为 ， 初始条件为，。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解法1： ； 。 解法2： ； 。 已知系统的状态转移矩阵 ， 试求该系统的状态阵。 解：。(注：原题给出的不满足及。) 已知系统动态方程 ，， 试求传递函数。 解：， ； 。 试求所示系统的传递函数矩阵。 ，； ； 。 已知差分方程 ， 试列写可控标准型(为友矩阵)离散动态方程，并求出时的系统响应。给定，。 解：系统的脉冲传递函数为 ，；，。 ； 。 已知连续系统动态方程为 ，， 设采样周期，试求离散化动态方程。 解：设，； ，； ，； ，。 判断下列系统的状态可控性： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹ 。 解： ⑴ ，； 状态不完全可控； ⑵ ，； 状态不完全可控； ⑶ ，； 状态完全可控； ⑷ ，； 状态不完全可控； ⑸ ，；，；，试计算？ 解：矩阵的特征方程为 ， 据凯莱哈密尔定理得知： ，；； 。 设系统状态方程为 ， 且状态完全可控。试求、。 解：，，只需。 设系统传递函数为 ， 且状态完全可控。试求。 解：可控标准型实现的系统，无论取何值，系统状态完全可控。在可观标准型实现中 ，；， ；只需、且。 注：由分子和分母的多项式互质条件，同样得到。 判断下列系统的输出可控性： ⑴ ，。 ⑵ ，； 解：输出可控性判别矩阵。 ⑴ ，，，系统的输出不可控。 ⑵ ，，，系统的输出可控； 判断下列系统的可观测性： ⑴，； ⑵，； ⑶，；⑷，。 解：应用可观测性判别矩阵。 ⑴ ，； 系统完全可观测； ⑵ ，； 系统完全可观测； ⑶ ，； 系统完全可观测； ⑷ ，； 系统不完全可观测； 试确定使下列系统可观测的、： ，。 解：，，只需。 已知系统各矩阵为 ，，， 试用传递函数矩阵判断系统的可控性、可观测性。 解：， 传递函数矩阵为 ； ，；，； 该实现是完全可控且完全可观测的。 将下列状态方程化为可控标准型 。 解： ；，； ，，；，； 。 注：若不要求计算变换矩阵，可根据特征多项式直接列写可控标准型。 已知系统传递函数为 , 试写出系统可控不可观测、可观测不可控、不可控不可观测的动态方程。 解：系统传递函数的分子和分母多项式中有公因式，任何2维动态方程不可能是既完全可控又完全可观测的。 可控不可观测动态方程 ， ； 可观测不可控动态方程 ，； 不可控不可观测动态方程 ，。 已知系统各矩阵为 ，，， 试求可控子系统、不可控子系统的态方程。 解：，，； ，；选取，； ，； 可控子系统动态方程： ，； 不可控子系统动态方程： ，。 系统各矩阵同习题9-27，试求可观测子系统、不可观测子系统的态方程。 解：，，； 初等变换成，， 选取变换矩阵，，； ，； 不可