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第十讲 圆轴扭转
* * * * * * * * 《材料力学》-------编制: 一、扭转的工程实例及概念 二、杆扭转时的内力及计算 三、圆轴扭转时的强度 圆轴扭转 T 一、扭转变形的概念 1、工程实例 T 传动轴 P P 汽车转向轴 传动轴 研究对象: 圆截面直杆 2、受力特点: 构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的外力偶作用,两力偶大小相等,转向相反。且满足平衡方程: 3、变形特点: 各横截面绕轴线发生相对转动. 扭转角(?):任意两截面绕轴线转动而发生的角位移。 剪应变(?):直角的改变量。 m m ? O B A ? x y z m m 变形前 变形后 ?AB 转速:n (转/分) 输入功率:P(kW) m 二、外力偶矩的计算 三、杆扭转时的内力 1、 扭矩 圆轴扭转时,其横截面上的内力称为扭矩。 扭矩的符号规定: 用截面法求扭矩: m m m Mn x 把扭矩按右手螺旋法则表示成矢量: 4个手指沿扭矩转动的方向,大拇指即为扭矩的方向 与外法线方向一直为正(离开截面为正) 与外法线方向相反为负(指向截面为负) Mn 在工程实际中常用一个图形来表示沿轴长各横截面上的扭矩随横截面位置的变化规律,这种图形称为扭矩图。 2、扭矩图 例1某传动轴如图,转速n=700r/min,主动轮的输入功率为PA=400KW,从动轮B、C和D的输出功率分别为PB=PC=120KW,PD=160KW。试作轴的扭矩图。 解:由功率-转速关系计算外力偶矩 B MB MC C MA MD A D 3.28 2.18 A C B D Mn /kN.m M n图 1.64 为负 与MB同向 与MC反向 B MB MC C MA MD A D 3.28 2.18 A C B D Mn /kN.m Mn 图 1.64 为正 与MD反向 与MA反向 例2 图示传动轴上,经由A轮输入功率10KW,经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5KW。轴的转速 n=300r/min,求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置是否合理? A C B D A C B D 经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为 解: A C B D (-) 扭矩T-图 (+) (在CA段和AD段) 将A、D轮的位置更换,则 A C B D 扭矩T-图 (-) (AD段) 因此将A、D轮的位置更换不合理。 强度条件 四、圆轴扭转时的强度计算 2、强度计算的应用: ① 校核强度: ② 设计截面尺寸: ③ 计算许可载荷: 例 一传动轴,已知d=4?5cm,n=300r/min。主动轮输入功率PA=36?7kW,从动轮B、C、D输出的功PB=14?7kw,PC=PD=11kW。轴的材料为45号钢,G=80?103MPa,试校核轴的强度。 解 (1) 计算外力偶矩 (2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为: (3) 强度校核 满足强度条件. 解: 由传动轴的尺寸计算抗扭截面模量: 轴的最大剪应力 例 某汽车传动轴,用45号钢无缝钢管制成,其外径D=90mm, 壁厚t=2.5mm,使用时最大扭矩为Mx=1500 N.m,试校核此轴的强度。已知[?]=60MPa。若此轴改为实心轴,并要求强度仍与原空心轴相当,则实心轴的直径D1为多少? 所以此轴安全。 若此轴改为实心轴,而 式中 解得: 实心轴的横截面面积为 空心轴的横截面面积 空心轴与实心轴的重量之比: 因此在承载能力相同的条件下,使用空心轴比较节 约材料、比较经济。 练习1:实心圆轴受扭,若将轴的直径减小一半时,横截面的最大剪应力是原来的 倍? 8 课堂练习 练习2:一直径为D1的实心轴,另一内外径之比α=d2/D2=0.8的空心轴,若两轴横截面上的扭矩相同,且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。 解:由 得: 课堂练习 练习3:在强度相同的条件下,用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴,可节省材料的百分比为多少? 解:设实心轴的直径为 d1 ,由 得: 0.8 0.8 1.192 0.8 0.512 课堂练习 内力 应力 o T ? max 内力是扭矩 T 剪应力 t 在横截面上线性分布,垂直与半径,指向由扭矩的转向确定。 §3 小 结 圆轴扭转 最大剪应力在表面处 作用在轴上的外力偶矩 外力 强度设计 极惯性矩: 实心轴 空心轴 抗扭截 面模量: 实心轴 空心轴 刚度设计 练习题 P123:6-2,6-5 作业: * * * * * * * * 《材料力学》-------编制: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
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