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2017 国家集训队 一道测验题的拓展 作 者： 胡苏麟 指导老师： 刘燕萍 余泽伟 学 校： 华南师范大学附属中学 摘要 本文以“2017 国家集训队一道测验题的拓展”为题，基于 当年数学国家集训队的一道测验题进行了相当深入的研究，显著 强化原命题，得出一系列相关联的拓展与推论，并展示出了许多 美妙的几何性质。团队在该命题上具有较全面的研究。 The summary of the dissertation With the topic of “An Expansion of A Problem in A Test from 2017 China TST”, this dissertation explores the problem in a remarkable depth. It significantly strengthens the proposition and gets a series of related extensions and inferences, while exhibiting several beautiful geometric properties. The group also does a comprehensive exploration through the topic. 2017 年国家集训队一道测验题的拓展 作者：华南师大附中 胡苏麟 指导老师：华南师大附中 刘燕萍 广州学而思 余泽伟 前言 2017 年春，国家集训队开营，其间举行了多场测试。笔者虽未参加，但对 其中第二场测试的几何题产生了兴趣。这道题的原始出处是 1847 年的法国全国 数学竞赛，当时全场无人做出。此题在 19 世纪末的一些书籍中还能见到。这道 题本身并不困难，而经过探索，笔者发现其题目条件略经修改，甚至是弱化，都 可以得到正确的命题，并产生一系列有趣的几何性质。经指导老师指点，笔者将 其总结为以下几个拓展与推论，并给出相关的证明与分析。 国家集训队测验题（拓展0）. 如图 1，Δ ABC 内切圆为⊙I.Δ ABC 中BC,CA,AB 上的中点分别为 D,E,F.过 D 作⊙I 另一条切线交直线 EF 于 X.同理得Y,Z.求证：X,Y,Z 共线 l1. A D 2 F X E M I P B C M D D 1 图1 证：设Δ DEF 内切圆为⊙K.⊙I 在 BC 上的切点为 D ,D I 交⊙I 与另一点 D .P 1 1 2 为 DX 切⊙