50高斯戏弄五边形…稀少,但成熟的数学风格.PDF

50 高斯戲弄五邊形…稀少，但成熟的數學風格 提到高斯，大家總是聯想到 12 3  100 5050 的故事；有時也會提到高斯是第一位證明 正十七邊形可以尺規作圖的數學家；或者說高 斯的數學風格是稀少，但成熟。這裡我們要引導讀者完成一則五邊形的面積公式，知道 這個公式的人不多，曉得公式是高斯所發現的更少。 一般而言，從解題者的草稿紙或論證呈現次序總是可以一窺解題者的思考脈絡，就像從 建築物的鷹架可以理解這建築物的搭建先後次序一樣。但是高斯卻是異數，他在完成數 學作品後總是將思考痕跡擦得一乾二淨，將鷹架徹底移除。他的數學作品總是成熟，完 美，讓人讚嘆，卻又看不出任何思考線索。 現在就讓我們來嘗試重建「高斯五邊形面積公式」的鷹架：俗語說得好「凡事起頭難」， 但我們的起頭卻相當容易，只是大家想不到而已。你會認為 pr q (p q r ) (p q )(q r ) 是個很難的等式嗎？一點都不難，只需將兩邊分別乘開，就馬上看出相等了。雖然在中 學教科書未曾出現過這個等式，但它卻是一個相當有用的公式，有人稱它為蒙日等式。 我們也可以透過底下的面積演變，證明蒙日等式： 我們也可以用文字來記憶蒙日等式：「將一個數拆成三項的和，頭尾兩項的積加上中項 與全數的積會等於前兩項和與後兩項和的乘積。」 既然要討論五邊形，就讓我們畫個隨意的凸五邊形 A A A A A 。為了方便起見，令三角 0 1 2 3 4 p 形 的面積為 ， 的面積為 ， 的面積為 ；令線段 是線段 的 A A B A BC q A CA r A A A B m 0 1 0 0 4 0 2 0 倍， 是 的 倍；並將三角形 , 的面積 A A A C n A A A , A A A , A A A , A A A A A A , A A A 0 3 0 0 1 2 0 2 3 0 3 4 0 1 4 0 1 3 0 2 4 分別記為 , , , , , ： 12 23 34 14 13 24 有了五邊形圖形及符號定義之後，我們可以得出底下的面積關係：   23 34 12 p  , q  , r  ;  m mn n     13 24 p  q  r  , p  q  , q  r  .  14 n m  把這六個式子代入蒙日等式，得