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信号检测与估计作业第一章
习题一
1.1在例1.2中,设噪声均方差电压值为=2V,代价为=2,=1。信号存在的先验概率P=0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限,并计算出相应的平均风险。
解:
(1) 确定贝叶斯意义下最佳门限
对例1.2的二元假设为:
H0:
H1:
似然函数:
似然比为:
根据判决规则:
上式简化后得: (1)
由题意得Q=0.8,P=0.2
根据贝叶斯准则下门限
(2)
将(2)式代入(1)式得最佳门限
似然比接收机框图为:
(2) 计算出相应的平均风险
代价矩阵:
假设H0为真条件下,做出判决的平均代价:
假设H1为真条件下,做出判决的平均代价:
总平均代价即平均风险为:
0.1
1.2在例1.2中,如果不是进行一次观测,而是进行二次独立观察,得到和,并取为一给定常数。试确定在平面上划分判决区域的曲线方程,确定对数据和应进行的最佳运算步骤,并计算虚警概率、漏报概率和平均风险。
解:
(1)此题为书中例1.4的特例n=2的情况,即式(1-43)的特例:
似然函数:
似然比:
= 判为 (其中)
化简得到
判为 (1)
即曲线方程为
判决区域划分为:
(2)样本均值的似然函数为:
虚警概率
漏报概率
平均风险
=
其中为(1)式确定
1.3只用一次观测x来对下面两个假设作选择,:样本x为零均值、方差的高斯变量,:样本x为零均值、方差的高斯变量,且。
根据观测结果x,确定判决区域和。
画出似然比接收机框图。为真而选择了的概率如何?
解:(1)似然函数
(k=1,0)
似然比
判为
化简得
() 判为
得 根据选取准则而定
(2)框图
为真而选择了的概率,即漏报概率为
1.4设计一个似然比检验,对下面两个假设作选择。
:
:={ 1/2 (|x|1)
0 其他
假定=1,确定判决区域和。
应用纽曼-皮尔逊准则,并设,则判决区域如何?
解:(1)
|x|1时似然比为
判为
化简得
= 判为
所以得判决区域为
(2)应用纽曼-皮尔逊准则
所以得判决区域为
1.7 根据一次观测,用极大极小化检验对下面两个假设做判断
:
:
设n(t)为零均值和功率为的高斯过程,且。试求:
判决门限
与相应的各假设先验概率。
解:因为采用极大极小化准则,所以要求
将代入得:
两边求微分得
=1/2 为判决门限
=
解得
=1/2=
1.8 若上题假定=3,=6,则
(1)每个假设的先验概率为何值时达到极大极小化风险?
(2)根据一次观测的判决区域如何?
解:与上题求解类似得
=
=2/3 ,=1/3
1.9 设两种假设为:
:
:
其中n(t)为零均值和功率为2的高斯白噪声。根据M个独立样本(1,2,……,M),应用纽曼-皮尔逊准则进行检验。令=0.05,试求:
最佳判决门限;
相应的检测概率。
解:由(1-43)得似然比
将,n=M代入得
化简得
服从均值为2(下)和0(下),方差为2/M的高斯分布
=
=0.05
从中解得
相应的
——
x
0 判为
0 判为
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