信号检测与估计作业第一章.doc

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信号检测与估计作业第一章

习题一 1.1在例1.2中,设噪声均方差电压值为=2V,代价为=2,=1。信号存在的先验概率P=0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限,并计算出相应的平均风险。 解: (1) 确定贝叶斯意义下最佳门限 对例1.2的二元假设为: H0: H1: 似然函数: 似然比为: 根据判决规则: 上式简化后得: (1) 由题意得Q=0.8,P=0.2 根据贝叶斯准则下门限 (2) 将(2)式代入(1)式得最佳门限 似然比接收机框图为: (2) 计算出相应的平均风险 代价矩阵: 假设H0为真条件下,做出判决的平均代价: 假设H1为真条件下,做出判决的平均代价: 总平均代价即平均风险为: 0.1 1.2在例1.2中,如果不是进行一次观测,而是进行二次独立观察,得到和,并取为一给定常数。试确定在平面上划分判决区域的曲线方程,确定对数据和应进行的最佳运算步骤,并计算虚警概率、漏报概率和平均风险。 解: (1)此题为书中例1.4的特例n=2的情况,即式(1-43)的特例: 似然函数: 似然比: = 判为 (其中) 化简得到 判为 (1) 即曲线方程为 判决区域划分为: (2)样本均值的似然函数为: 虚警概率 漏报概率 平均风险 = 其中为(1)式确定 1.3只用一次观测x来对下面两个假设作选择,:样本x为零均值、方差的高斯变量,:样本x为零均值、方差的高斯变量,且。 根据观测结果x,确定判决区域和。 画出似然比接收机框图。为真而选择了的概率如何? 解:(1)似然函数 (k=1,0) 似然比 判为 化简得 () 判为 得 根据选取准则而定 (2)框图 为真而选择了的概率,即漏报概率为 1.4设计一个似然比检验,对下面两个假设作选择。 : :={ 1/2 (|x|1) 0 其他 假定=1,确定判决区域和。 应用纽曼-皮尔逊准则,并设,则判决区域如何? 解:(1) |x|1时似然比为 判为 化简得 = 判为 所以得判决区域为 (2)应用纽曼-皮尔逊准则 所以得判决区域为 1.7 根据一次观测,用极大极小化检验对下面两个假设做判断 : : 设n(t)为零均值和功率为的高斯过程,且。试求: 判决门限 与相应的各假设先验概率。 解:因为采用极大极小化准则,所以要求 将代入得: 两边求微分得 =1/2 为判决门限 = 解得 =1/2= 1.8 若上题假定=3,=6,则 (1)每个假设的先验概率为何值时达到极大极小化风险? (2)根据一次观测的判决区域如何? 解:与上题求解类似得 = =2/3 ,=1/3 1.9 设两种假设为: : : 其中n(t)为零均值和功率为2的高斯白噪声。根据M个独立样本(1,2,……,M),应用纽曼-皮尔逊准则进行检验。令=0.05,试求: 最佳判决门限; 相应的检测概率。 解:由(1-43)得似然比 将,n=M代入得 化简得 服从均值为2(下)和0(下),方差为2/M的高斯分布 = =0.05 从中解得 相应的 —— x 0 判为 0 判为

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