函数与导数练习题.doc

1、已知函数R （1）求函数的导函数； （2）当时，若函数是R上的增函数，求的最小值； （3）当时，函数在（2，+∞）上存在单调递增区间，求的取值范围. 2、已知（）． （Ⅰ）求函数的单调递减区间； （Ⅱ）当时，若对有恒成立，求实数的取值范围． 3、已知函数且 （I）试用含的代数式表示； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）令，设函数在处取得极值，记点， 证明：线段与曲线存在异于、的公共点； 4、已知函数的图象过点，且在内单调递减，在上单调递增。 （1）求的解析式； （2）若对于任意的，不等式恒成立，试问这样的是否存在.若存在，请求出的范围，若不存在，说明理由； 5、已知函数在点处的切线斜率为，且 (Ⅰ)证明：； (Ⅱ)证明：函数在区间内至少有一个极值点. 在区间[－1，1]上最大值为1，最小值为－2。 （1）求的解析式； （2）若函数在区间[－2，2]上为减函数，求实数m的取值范围。 7、已知函数（，实数，为常数）． （1）若（），且函数在上的最小值为0，求的值； （2）若对于任意的实数，，函数在区间上总是减函数，对每个给定的n，求的最大值h(n)． ． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 9、已知是函数的一个极值点。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。 10、已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是． （Ⅰ）求函数的另一个极值点； （Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围． 11、设函数曲线y=f(x)通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴. （Ⅰ）用a分别表示b和c； （Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g(x)=-f(x)e-x的单调区间. 12、已知函数. （Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上； （Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. 是实数，函数。 （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）设为在区间上的最小值。 （i）写出的表达式；（ii）求的取值范围，使得。 14、某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为km． （Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设 ∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km) ，将表示成的函数关系式． （Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短． 课后练习： 1、设函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为( ) A.0 B.1 C. D. 2、函数f(x)=loga(3x2+5x－2)(a＞0且a≠1)的单调区间_________. 3、在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_________时它的面积最大. 4、设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间. 5、设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值； (2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.6、已知a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：. 7、设关于x的方程2x2－ax－2=0的两根为α、β(α＜β),函数f(x)=. (1)求f(α)·f(β)的值； (2)证明f(x)是［α，β］上的增函数； (3)当a为何值时，f(x)在区间［α，β］上的最大值与最小值之差最小？ 8、已知函数，． （Ⅰ）若函数在处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程； （Ⅱ）设，若函数在上存在单调递增区间，求的取值范围． 9、已知函数，其中 （1）求函数的零点； （2）讨论在区间上的单调性； （3）在区间上，是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存 在，请说明理由． 4、（1）∵， 由题设可知：即sinθ≥1 ∴sinθ=1. 从而a= ，∴f(x)= x3+x2－2x+c,而又由f(1)= 得c=.∴f(x)= x3+x2－2x+即为所求. (2)由=（x+2）（x－1），易知f(x)在(－∞,－2)及(1,+∞)上均为增函数，在(－