江苏专转本高等数学 第七章 第四节空间曲线及其方程.ppt

一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、小结 * */22 * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 四、小结 思考题 空间曲线的一般方程 特点:曲线上的点都满足方程组，满足方程组的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足这两个方程. 空间曲线C 可看作空间两曲面的交线. 【注】空间曲线用一般方程表示,表达式形式不唯一. 【例1】方程组 表示怎样的曲线？ 【解】 表示圆柱面， 表示平面， 【例2】方程组 表示怎样的曲线？ 【解】 上半球面, 圆柱面, 交线如图. Flash动画 空间曲线的参数方程 动点从A点出发，经过t 时间，运动到M点 螺旋线的参数方程 取时间t 为参数， 【解】 P 圆柱面 a x = y = z = acos? b? M(x,y,z) asin? θ M N Q 螺旋线的重要性质： 上升的高度与转过的 角度成正比 螺旋线又称圆柱螺线 y z 0 x 螺线从点 P ? Q 当 θ 从 0 ? 2?， 叫螺距 消去变量z 后得： 曲线C关于 面的投影柱面 设空间曲线C 的一般方程： 以此空间曲线C 为准线，母线平行于z 轴的柱面. 投影柱面的特征： 类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影, 面上的投影, 空间曲线在 面上的投影曲线,简称投影. 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线 投影曲线 投影柱面 【例4】求曲线 在坐标面上的投影. 【解】 (1)消去变量z 后得 在 面上的投影为 所以在 面上的投影为线段. (2) 因为曲线在平面 上， (3) 同理在 面上的投影也为线段. 截线方程为 【解】 如图, 1 【解】 y x z o 得交线L： 【例6】 由 z =0 . 1 y x z o L . . . . 投影柱面 【解】 得交线L： 由 【例6】 L: x z y 0 空间曲线作为投影柱面的交线(1) (消去z) y2 = – 4x 将其换成投影柱面的交线 y2 = – 4x L: x z y 0 空间曲线作为投影柱面的交线(1) . y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x (消去z) (消去x ) y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x 将其换成投影柱面的交线 L： L: x z y 0 L 转动坐标系，有下页图 转动坐标系，有下页图 . (消去z) (消去x ) . y2 = – 4x y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x 空间曲线作为投影柱面的交线(1) 说明了L 的一般方程表达形式不唯一 将其换成投影柱面的交线 y2+(z – 2)2 = 4 L： L x z y 0 y2+(z – 2)2 = 4 y2 = – 4x (消去z) y2 + (z – 2)2 = 4 (消去x) y2 = – 4x 空间曲线作为投影柱面的交线(2) * * * *