浅谈高中立体几何.doc

浅析高中立体几何 方金华 摘 要：立体几何研究的对象是空间图形。空间图形是立体几何的特有形式，易引起清晰的视觉形象，能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体和加深理解的作用，是培养学生空间想象能力的重要途径，本文对高中立体几何部分作些分析。 关键词：立体几何 高考 高中 解题 立体几何的特点及其在教学中的地位 立体几何是初等数学的一个分支，采用公理化的方法研究空间的点、线与面的各种位置关系，并进而讨论简单几何体的性质和有关计算以及它们的应用的学科。 在高中，立体几何主要分布在高一数学中。立体几何新教材的编排，为学生灵活运用知识解决实际问题，充分发挥学生发散思维和创新思维搭建了学习平台，映射出新课程的教学目标既注重学生数学素养的培养，又关注学生创新思维和创新能力的培养，注重学生自我学习能力和自我发展的培养。 立体几何它具有以下的几个特点。 特点一：立体几何的逻辑性强。高中数学中的一个重要任务是培养和提高学生的思维能力，而思维能力中逻辑思维能力是其中的一个重要组成部分。学生往往抓不住概念、公理、定理的本质属性，不习惯对这些知识的严格表述，以及表述中的三种语言（符号语言、文字语言、图形语言）的相互转换，导致在解题中、证题中错误百出，推理证明不严密，出现证明中常见的四大错误－－偷换论题、循环论证、虚假论据、不能推出。 特点二：立体几何语言丰富。立体几何有独特的语言：文学语言、符号语言、图形语言。文学语言精确，符号语言简便，图形语言直观。它们可以相互转化，可以提高学生的转化能力，使学生掌握转化思想在解题中的作用，确立简化意识。 特点三：立体几何空间概念强。立体几何研究的对象是空间图形，而构成图形的点、线、面不是全暴露出来的，它们的位置关系不象平面几何直观，要弄清它们之间的关系需要一定的观察力、分析能力、识图能力、转化能力，想问题要从空间去想，要有空间概念。 特点四：立体几何算证交错。立体几何的证明题有不少不是单纯的理论证明，在证明过程中包含计算内容，在计算题中又含有推理论证的成份，无论用几何法还是向量法，这种现象都会经常出现。 特点五：立体几何解题方法多。大的方法有几何法、向量法、向量坐标法。用哪种方法最简便，有没有规律，要视题目的具体情况作出选择，要积累解题经验。几何法运算量较少，但要求空间想象力强，空间概念强；向量法，向量坐标法运算量大，容易出错，空间概念要求低。 特点六：立体几何可数形结合。引入向量后，立体几何问题可以代数化，不再是纯几何问题了，可通过向量的运算去研究它们的性质，把数与形有机地结合起来，有利于提高学生的数形结合能力，转换能力，知识的迁移能力。引入向量后，证明线面的垂直与平行，求距离，求角，都可以通过代数运算解决，可根据图形特征去寻求数量关系，也可由数量关系判断图形特征，对于培养学生的发散思维具有积极的作用。 在高中的立体几何的学习中，立体几何知识是高中数学学习的一个难点，学生普遍反映“立体几何比代数难学”，这由于从初中的平面图形知识过渡到空间图形知识，本身就是一个难点，加之立体几何一章的基本概念集中，抽象，要求学生有一定的空间想象能力和演绎推理能力，这反映在思维能力上有一个较高的要求，再加上客观上高中数学课堂教学容量大，进度快以及初高中知识衔接方面的问题等诸多原因造成的。其主要的不足有：⑴空间想象能力的欠缺；⑵逻辑思维能力的欠缺；⑶初中平面几何的负迁移。 立体几何解题通法 反证法 反证法是一种间接证法，是数学中的一个“大法”，它在立体几何中的应用特别广泛，几乎各类线面位置的关系中都用到了反证法。 例1：求证:过平面外一点与平面内一点的直线,和平面内不经过该点的直线是异面直线. 已知:aα,Aα,B∈α求证:直线AB 和α是异面直线(如图2-1) 证明: 假设直线AB 和α共面,即有平面β使ABβ,aβ于是Bβ,A∈β ∵aα,B∈α,Bα ∴过a 和B 有且仅有一个平面,即平面α,于是α和β是同一个平面即α=β由假设A∈β,可知A∈α,这与已知Aα矛盾. ∴直线AB 和a 是异面直线. 反证法虽然题题可解，但无必要，它宜用于：（1）存在唯一性命题.（2）否定形式的命题.（3）结论中有“至多”、“至少”的命题.（4）结论中各种无限形式给出的命题. 降维与升维法 可以利用投影，平移，旋转，展图，辅助平面，类比方法，体积比转化为面积比等将空间问题化归为平面问题。 例2：四面体ABCD中，B，C，D三点处的三面角之和均为，求证此四面体的三组对棱分别相等. 证明：沿着AB，AC，AD剪开，将四面体展成一个平面图形，如图2-3，由于B，C，D三点处的三个面角之和都是180°，∴A1，B，A2；A2，D，A3；A3，C，A1分别三点共线，∴展开后的图形是一个△A1A2A3，而B，C，D正好是三边上