311方程根与函数的零点.ppt

第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法…… 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法. 13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法 今天我们来学习方程的根与函数的零点！ 你会求什么方程的根呢？ 1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点） 2.学习掌握求函数零点的方法.（重点） 3.理解零点存在性定理，能判断函数零点的存在、零点所在区域及零点个数问题。(难点） 求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次 函数的图象，观察二者有何联系？ （1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3 （2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1 （3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3 你知道方程对应的函数是怎么找的吗？ 方程 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 函数 函 数 的 图 象 方程的实数根 x1=-1,x2=3 x1=x2=1 无实数根 (-1,0)、(3,0) (1,0) 无交点 x2-2x-3=0 y=x2-2x+3 函数的图象 与x轴的交点 x y －1 3 2 1 1 2 －1 －2 －3 －4 . . . . 0 . 一、函数零点的定义： 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. 零点指的是一个实数，不是一个点 方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点 C 【即时训练】 B 观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象： 在区间[-2，1]上有零点______； f(-2)=_______，f(1)=_______， f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)． 在区间(2，4)上有零点______； f(2)·f(4)____0（填“＜”或 “＞”）． x=－1 －4 5 x=3 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 x y O -2 -1 -4 -3 -2 -1 a b c 二、函数零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根. 1、两个条件 2、零点不一定唯一 1、方程lnx= 必有一个根的区间是 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.( ,1) D.(3,+∞) B 【解题关键】 将方程转化为函数，利用零点的存在性定理判断 【即时训练】 2、判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（ ） （2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)· f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ） （3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0， 则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（ ） 解析：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)·f(b) 0 ，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一 个零点. （ ） 如图, 函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的. 满足条件一定有零点，但不确定有几个 可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点. 故论断不正确. （2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且 f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ） a b O x y 如图, 虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不一定存在零点，故论断不正确. （3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)0， 则f(x)在区间(a,b)内一定存在零点.（ ） 如图,