第一节二重积分的概念及性质教案.doc

第九章 重积分二重积分的概念及性质二重积分的概念曲顶柱体的体积设面上的有界闭区域的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，顶是有二元非负连续函数所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为上的曲顶柱体曲顶柱体的体积 图9—1 图9—2 图9—3 解 对于平柱体的体积曲顶柱体顶柱体(1)分割 把区域任意划分成，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体个小曲顶柱体(2)近似 在每一个上任取一点，为高，为底的平顶柱体体积个小曲顶柱体的体积 (3)求和 这个小平顶柱体体积即曲顶柱体体积 (4)取极限 将区域曲顶柱体体积 其中表示这个小闭区域直径中最大值的直径（有界闭区域区域设面上的有界闭区域上的连续函数，试求平面薄片的质量。 解 对于均匀平面薄片的质量，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割 将薄片（即区域任意划分成，其中表示第个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。 (2)近似 在每一个上任取一点，为其密度，当很小时，认为小薄片是均匀的，则近似代替第个小薄片的质量。即 (3)求和 这个小薄片的质量之和即 (4)取极限 将薄片无限细分，且每个小薄片趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于薄片的质量。即 其中表示这个小薄片直径中最大值的直径。 2．二重积分的概念 定积分与曲边梯形的面积有关。来二重积分。是有界闭区域上的有界函数 （1）将闭区域任意分成个小闭区域，其中表示第个小闭区域，也表示它的面积。 （2）在每个上任取一点，作乘积（=1，2，…，） （3）并作和 （4）如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时，这和式的极限总存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作 即 . 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫做积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。 【注意】在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，若在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域，设矩形闭区域的边长和，则，因此在直角坐标系中，有时也把面积元素记作，从而 其中叫做直角坐标系中的面积元素。 3．二重积分的几何意义 若，函数在闭区域上的二重积分表示为以为底面，为曲顶的曲顶柱体的体积； 若，表示柱体在面的下方，二重积分是该柱体体积的相反数； 若函数在闭区域上既有正的，又有负的，则二重积分表示在面的上、下方的柱体体积的代数和。 4．二重积分存在性 如果被积函数在积分区域上连续，那末二重积分必定存在。二重积分的性质被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去 性质2（线性性） 有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和 推论 设、为常数，则 性质3（可加性） 若闭区域被有限条曲线分成为有限个部分闭区域，则在上的二重积分就等于在各个部分闭区域上的二重积分的和（）。 性质4 若在上，为的面积，则 推论 性质5（不等式性） 若在上，，则 【特别地】，则 性质6 （有界性） 设、分别是在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则 性质7（二重积分的中值定理） 设函数在闭区域上连续，为的面积，则在上至少存在一点使得 第二二重积分的计算法二重积分直角坐标系中的计算方法，来表示的区域，其中函数、在区间上连续，如图9—4所示，称为—型区域； 用不等式，来表示的区域，其中函数、在区间上连续，如图9—5所示，称为—型区域。 注意 —型或—型区域，如果经过区域内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于轴(或轴)的直线且此直线交的边界不超过两点 图9—4 图9—5 图9—6 图9—7 1．—型区域上的二重积分的计算法—型区域 选为积分变量，，任取子区间。设表示过点且垂直轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，如图9—6所示，则曲顶柱体体积的微元为 那么曲顶柱体体积为 由图9—6知，该截面是一个以区间为底，以曲线（固定）为曲边的曲边梯形，其面积为 则曲顶柱体体积为 故二重积分的计算法 2．—型区域上的二重积分的计算法—型区域 如图9—7所示，选取为积分变量，则用垂直于轴的平面去截曲顶柱体，类似以上的方法可得曲顶柱体的体积 故二重积分的计算法 由此可得，二重积分的计算采取的方法是次积分法。为—型，则先把看成常量，对进行积分，的函数。然后在对进行积分，—型，则先把看成常量，对进行积分，的函数。然后在对进行积分。先累次积分累次积分上下限的确定方法二重积分累次积分，确定其属于什么类型，定出两次定积分的上下限上下限平面上画出曲线所围成的区域 （2