第五章定解问题的适定性.docx

第五章 定解问题的适定性一、小结 本章首先利用能量积分方法，证明了波动方程混合问题解的唯一性及解的平均稳定性。在利用特征锥借助能量不等式，证明波动方程初值问题解的唯一性和平衡稳定性。利用极值原理证明热传导方程混合问题、初值问题，以及调和方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性、利用强极值原理证明调和方程第二边值问题的唯一性。通过对二阶方程的特征理论的考察，知道三类典型方程二阶导数前面的系数的代数性质不同，决定了它们的特征状况不同，从而可以加深对三类典型方程许多本质差别的理解。最后举出了不适定定解问题的例子，并通过列表对三类典型方程及其定解问题进行了比较与总结。重点：利用能量积分方法，证明了波动方程混合问题解的唯一性及解的平均稳定性；证明波动方程初值问题解的唯一性和平衡稳定性；利用极值原理证明热传导方程混合问题、初值问题，以及调和方程的第一边值问题解的唯一性和稳定性、利用强极值原理证明调和方程第二边值问题的唯一性。二阶方程的特征理论；难点：强极值原理，二阶方程的特征理论。二 、 习题及解答波动方程和能量积分设受摩擦力作用的固定端点的有界弦振动，满足方程　　　　　　　　 证明其能量是减少的，并由此证明方程的混合问题解的唯一性以及关于初始条件及自由项的稳定性。证：　首先证明能量是减少。能量　 　　 　因弦的两端固定，所以于是 (因此，随着的增加，是减少的。证明混合问题解的唯一性混合问题:设是以上问题的解。令则满足能量 当利用初始条件有由得所以 又是减少的，故当又由的表达式知所以 由此得及于是得到常量再由初始条件得因此即混合问题解的唯一的。 证明解关于初始条件的稳定性，即对任何可以找到只要初始条件之差满足则始值所对应的解及所对应的解之差满足 或令即积分得又,所以即 记，则满足则相对应地有 故若 则 于是 (对任何t)即 或 解关于自由的稳定性设满足满足则满足今建立有外力作用时的量不等式 ==其中故又, 所以由中证明, 知而 故因此, 当 ,则亦即当，则。即解关于自由项是稳定的。3. 证明如果函数在G：，作微小改变时，方程（，和都是一些充分光滑的函数）满足固定端点边界条件的混合问题的解在G内的改变也是很微小的。证：只须证明，当很小时，则问题的解也很小（按绝对值）。考虑能量由边界条件，，故，。所以 又由于，，故，即或记得由初始条件，，又因，得，故，即若很小，即，则，故即在中任一时刻，当很小时，，又中积分号下每一项皆为非负的，故（对中任一时刻）今对，，估计。因为 ，应用布尼亚科夫斯基不等式，可以得到其中（因且充分光滑）即又由边界条件，得即当，，有很小，得证。．证明波动方程的自由项中在意义下作微小改变时，对应的柯西问题的解在意义之下改变也是微小的。证：研究过的特征锥令截，得截面，在上研究能量：其中为的边界曲线。再利用奥氏公式，得因为第二项是非正的，故所以令上式可写成 即 即 研究 所以 为证明柯西问题的解的关于自由项的稳定性，只须证明柯西问题当“很小”时，则解的模也“很小”此时，由始值，而由于得所以 ，即故任给，当，则得证热传导方程和极值原理 2. 若方程的解在矩形R的侧边及上不超过B，又在底边上不超过M，证明此时在矩形R内满足不等式：由此推出上述混合问题的唯一性与稳定性。证：令，则满足，在R的边界上再由热传导方程的极值原理知在R内有故 唯一性：若为混合问题的两个解，则满足由上估计得推出 即 解是唯一的。 稳定性：若混合问题的两个解在满足即，则满足估计因此对任何满足，解是稳定的利用证明热传导方程极值原理的方法，证明满足方程的函数在界闭区域上的最大值不会超过它在境界上的最大值。 证：反证法。以表在上的最大值，表在的边界上的最大值。若定理不成立，则。因而，在內有一点使。 作函数 其中为的直径。在上而 故也在R内一点上取到其最大值，因而在该点处有：即，另一方面，所以 矛盾。故假设不成立。证毕调和方程和强极值原理1. 证明调和方程狄利克莱外问题的稳定性。解：设以O点为中心,R为半径作球面，将包含在内，由于=0，任给，可取R充分大，使提在球面外及上故 (在外及上) (1) 在和围成的域内是调和函数，由极值原理，对域内任一点，