路灯的优化设计.doc

数学建模 路灯的优化设计 时间: 摘要 在日常生活中，我们常常遇到路灯照明的问题，如果合理安排路灯的高度和亮度，在保证公路照明的情况下又能俭省安装的费用。为了达到上面的要求，需要对路灯的进行优化设计。 此类问题的模型，一般都是单变量最优化问题，即是路灯的功率和高度确定的情况下找到路面上一点使在该点的照度最大（小）。但也可能是多变量最优化问题，即是路灯的功率确定，但是高度不确定，在此种情况下在路面上照到一点使该点的照度最大。 该模型涉及的量有灯的功率，灯距地面的高度，每两盏灯之间的距离，地面上确定一点的位置。求解方法一般用普通的最优化求解方法，即是微积分中的函数极值问题，可以直接用微分法求解。 所求的结果可以是（在单变量下）路面上一点的位置（坐标值），在该点照度最大（或最小）；也可以是（在多变量下）路灯的高度和在高度下路面上一点的位置。 一、问题提出 研究由两盏路灯照明的一条水平的道路上，1、两盏路灯间水平道路上具有最小（大）照明强度的点；2、设想两盏路灯的亮度分别为2000W和3000W，路灯的高度分别为5m和6m，两路灯间的水平距离为20m,求出最小（大）照明强度的点；3、改变一盏路灯的高度，以极大化照明强度；4、调整光源的高度，使最小照明强度的点的照明强度达到最大。 几何模型如下： 下图研究由两盏路灯照明的一条水平的道路，其中Pi是路灯的亮度，hi是灯的高度。两盏路灯的坐标分别是（0，h1）和（s，h2），其中s是两灯之间的水平距离。令X=(x，0)是两灯之间道路上的一个点。下图给出了该问题的一个示意图。 二、模型假设 假设1：路灯为点光源。 假设2：路灯照到路面时没有反射，并且空气对灯发出的光没有折射和反射。 假设3：两盏路灯的光线相交时没有干涉现象。 假设4：忽略发光效率，既灯消耗的电能全部转化为光能，无热能。 假设5：两灯的灯光只影响其水平距离之间的路面，对以外的路面无光照影响。 三、符号说明 符号 P1 P2 h1 h2 E1 E2 意义 第一盏灯的光强度 第二盏灯的光强度 第一盏灯的高度 第二盏灯的高度 灯1在点x处的照度 灯2在点x处的照度 符号 s x r1 r2 (1 (2 意义 两灯之间的水平距离 两灯之间路面上的一个点的横坐标 灯1离点x的距离 灯2离点x的距离 r1与水平面的夹角 r2与水平面的夹角 四、问题分析 （1）对于问题1，只要我们建立了照度的公式，然后用微积分中的函数极值问题求解即可。照度的公式参照物理学上光学部分的知识，照度公式为： E=Psin(/r2,两盏灯在路面上一点的照度既为每盏灯的照度的叠加。于是可以得到路面上一点x的照度为E= P1sin(1/r12+ P2sin(2/r22，根据几何关系可以确定，,，于是得到照度的方程为： 在第一问中此方程仅含变量变量x，对E（x）求导，可以求得极大值和极小值。 （2）问题2就是在一问下给出具体的数值，算出极大和极小值即可。 （3）问题3的变量不仅有x，还有高度h1（或h2），属于二元函数求极值的问题。应用高等数学偏导数的知识，可以求出极值。 （4）问题4所涉及的变量有三个（x，h1，h2），属于三元函数求极值的问题，求解方法仍然可以用高度数学多元函数求极值的方法，利用偏导数求解出极值。 综上所设计到的知识最主要的是多元函数极值求解方法。 五、模型建立 经过分析，建立如下模型： ， 求:(1)minE(x)(或maxE(x)); (2)maxE(x,h2)（或maxE(x，h1)）; (3)max(minE(x,h1,h2)). 其中（0(x(s，h1(0,h2(0,P1(0 P2(0）. 六、模型求解 （1）E（x）= ， ，令=0，求解方程可以得到一个极值点x的值。此时的x是关于P1，P2，s,h1,h2的函数。我们令两组值，得到下列两组图象： (P1=P2=2000,h1=h2=3,s=30) (P1=3000，P2=2000,h1=6,h2=10,s=40) 图象的特征是在0到s之间找得到一点，使E（x）最小，所以=0的点是极小值。在该点的照度最小。 （2）令P1=2000,P2=3000,s=20,h1=5,h2=6,求当=0时x的值。将数值带入=0中，求得x=（0.028，9.34，19.98）三个值时，=0，对应的E=（81.98，18.24，84.48），故最小照度的点为x=9.34，最小照度minE（x）=18.24。相应的图象如下图： （3）在第2问下改变一盏灯的高度，比如改变h2的值，对于每个h2，都能求得一具体的点为照度最小点（设为xm（h2））。假使有一个h2（设为h2m）使得在该h2m下对应的照度最小点xm（h2m）的照度最大。求出该h2m，进而求出maxE(x,h2).此时函数E(x