分离变量法在静电场问题中的应用.doc

 ( 1，2，3． 昌吉学院物理系 新疆 昌吉 831100) 摘 要: 本文主要论述电磁场理论中利用分离变量法求解静电问题的一般步骤，以及分离变量 情况下，如: 已知静电场中的介质或导体及电荷量等，它对实际情况边界条件或边值关系的选择与求 关键词: 镜像法; 解题步骤; 边值关系; 边界条件 中图分类号: O481． 2 文献标识码: A 文章编号: 1671 － 6469( 2011) 04 － 0093 － 04 引言 静电场问题是电动力学的核心问题［1］，是继电磁学理论之后的重要理论知识。利用 对一些实际问题不能解决，而电动力学是在人类对电磁现象的长期观察和生产活动中发 决实际问题起到了十分重要的作用。本论文就是把电磁场的基本理论应用到实际情况 问题是: 在给定的自由电荷分布以及周围空间中存在介质或导体分布的情况下，怎样 ，主要介绍利用分离变量法求解静电场的一般步骤，并在不同的环境下分离变量法对边 系的适当选择。 分离变量法求解的方程及通解 在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的。例如: 电容器内部的电场是由作为 板上所带电荷决定的。而这些问题的特点是: 空间中有自由电荷分布，而自由电荷只出 表面上，在空间中没有其它自由电荷分布［2］。因此，如果选择这些导体表面作为区域 V 内部自由电荷密度 ρ = 0，因而泊松方程 (2 φ = － ρ 化为比较简单的拉普拉斯方程: ε (2 φ = 0 上式称为拉普拉斯方程( 拉氏方程) 。产生电场的电荷都分布于区域 V 的边界上，它 界条件反应出来。因此，这类问题的解法是求拉普拉斯方程的满足边界条件的解，( 1) 分离变量法给出。 先根据界面形状选择适当的坐标系，然后在该坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方 标系有球坐标系和柱坐标系［3］。这里写出用球坐标系中轴对称情形下拉普拉斯方程的 在球坐标系下，球坐标用( R，θ，φ) 的通解为: 表示，R 为半径，θ 为极角，φ 为方位角，则拉氏方 bnm dnm n m n m φ( R，θ，φ) = ∑( anm R n + 1 ) Pn ( cosθ) cosmφ + ∑( cnm R n + 1 ) Pn ( cosθ) sinmφ + + R R n，m n，m m 式中 anm ，bnm ，cnm 和 dnm 为任意常数，在具体问题中由边界条件或边值关系定出。Pn ( c 德函数，若该问题中有具体对称轴，取此轴为极轴，则电势 φ 不依赖于方位角 φ，这种情 稿日期: 2011 － 03 － 12 金项目: 昌吉学院教学研究项目( 11jyyb012) 一作者简介: 张保花( 1981 － ) ，女，河南南阳人，昌吉学院物理系，讲师，研究方向: 电动力学教学理论研 Pn ( cosθ) 为勒让德函数，an 和 bn 是任意常数，由边界条件或边值关系确定。 布的区域内，φ 满足拉普拉斯方程，其通解已有( 2) 或( 3) 式给出，剩下的问题 边值关系确定这些通解中所含的任意常数，从而得到满足边界条件下的特解 → 因为电势与电场之间存在一定得关系: E = － ( φ，从而可将空间的静电场求解 分离变量法的一般解题步骤 从分离变量法求解的方程及通解中，可以总结出分离变量法的一般解题步骤: 首先，当所求区域中的电荷密度 ρ = 0 时，自由电荷只分布在某些介质或导体 域边界，并且电势 φ 满足 (2 φ = 0，则可以用分离变量法求解拉普拉斯方程; 其次，对实际情况分析，满足球对称或轴对称，写出相应的拉普拉斯方程通解; 再次，从实际情况出发，依次找出边界条件和边值关系来确定通解中的待定系 概括起来，大致有以下几种类型的边界条件［4］: ( 1) 两种绝缘介质界面上，边值关系为 φ1 = φ2 φ1 φ2 n ε1 = ε2 n 应用这条件可以把界面两边的电势衔接起来。 ( 2) 给出导体上的电势，导体面上边界条件为 φ = φ0 ( 给定常数) ( 3) 给出导体所带总电荷 Q，在导体面上的边界条件为 φ = 常数 ( 待定) － ∮ ε φdS = Q n 应用上述边界条件可以唯一地解出静电场，用导体面上的另一边界条件 － ε φ n = σ 可以得出导体面上的自由电荷面密度 σ。 对于介质和导体存在的边值关系: ( 1) 两介质交接面上边值关系 ?ε2 φ1 │S = φ2 │s ( S 为分界面) → ( n由 1→2) φ2 φ1 s － ε1 s = － σ n n 线，取此轴线为极轴建立球坐标系( 如图) 介质球的存在使空间分为两均匀区域—球外区域和球内区域。两区域内部都没有自 势都满足拉普拉斯方程。以 φ1 代表球外区域的电势，φ2 代表球内区域