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一道几何题添加多种辅助线教学做法体会 　　摘 要： 从不同角度，用不同方法添加辅助线，对提高学生解题功能，巩固灵活运用所学知识，养成“多思”“善思”的良好习惯起积极作用。 关键词： 解题能力； 培养； 辅助线 中图分类号： G424.1 文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2012）（11-12）-0099-02 一、用补短法添加辅助线，引导学生多思、善思 例如我在学生学完九年级第三章“圆”之后的复习教学中，为了加强“圆”与“全等三角形”相关知识的综合运用，在引导学生总结课本上的常见巧作辅助线方法之后，利用添加辅助线习题教学，引导学生添加不同的辅助线，启发学生的思维，激发学生学习兴趣，并重视培养学生养成多思善思的良好习惯。 例1、已知：P点是内接△ABC外接圆BC弧上任意一点，连接PB、PA、PC，如右图；求证：PA=PB+PC 此类题，是圆中证明不在同一条直线上的三条线段的数量关系相等问题，学生从未见过，无从下手，而学生对如何证明两条线段相等问题又司空见惯。 因此，如何将“证明三条线段的数量关系相等问题”转化成“证明两条线段相等问题”来解决，是证明的关键，也是问题的突破口，即让学生如何自然悟出并想到要做辅助线，来实现其转化，是教学难点之一。 难点之二，是如何作辅助线？即添加的辅助线构造出欲证的两条相等线段（或相等的替代线段）所在的两个三角形全等。也就是解决怎样思考做辅助线的问题。 为此，我在教学中的做法是： （一）设问讨论引导学生思考以下问题 1.该题求证：PA=PB+PC 请问：题目欲证明线段PA等于两线段PB与PC的和。那么如何在PB（或PC）上作两已知线段PB与PC的和？并说出做法？ 2.讨论：若延长BP至N，使PN=PC.如图1，则BN=PB+PC，试问，题目欲证PA=PB+PC.是否可“转化”为证明PA=BN即可？为什么？ 3.启发观察探索：要证明PA=BN，那么以PA、BN分别为边所在的两个三角形△APC与△BNC，你能用已学过的“圆”和“全等三角形”有关知识证明其全等吗？（学生会自动连接CN，并进行积极思考，教师根据情况可适当点拨，并在整理证明思路之后进行探索小结。） 经过学生思考讨论以上问题，师生共同归纳整理其证明过程如下： 证明：延长BP至N，使PN=PC，连结CN，如图1 ∵ PN=PC（已作）， 又∵ ∠1=∠BAC=60°（圆内接四边形的外角等于它的内对角） △PNC是正三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） PC=CN 在△APC和△BNC中，AC=BC（已知） 又∵ ∠ACP=∠BCN=60°+∠2 PC=CN（已证） △APC≌△BNC（SAS） PA=BN（全等三角形对应边相等） 又∵ BN=PB+PN PN=PC（已作） BN=PB+PC PA=BN=PB+PC （即证） （二）继续设问讨论 1.前面，我们已讨论了在PB或PC上，如何做两已知线段PB与PC的和。你总结出能有几种不同的作法吗？请结合图1，作出你的不同作法？ 2.你由这几种不同的作法。还能想到此题的其它添加辅助线的证明方法吗？说出你的证法？（只让学生作图思考，说出辅助线的作法和简要的证题思路，不要求书写证明过程） 经过启发、引导、分析讨论、归纳、点评学生给出的其它3种不同添加辅助线的简要证法。 证法一：如图2延长PC至N，使CN=PB。连结AN，易证△ABP≌△ACN（SAS） PA=AN 又∵ ∠1=∠2=60° △APN是正三角形 PA=PN 又∵ CN=PB（已作） PA=PN=CN+PC=PB+PC（即证） 证法二：如图3 延长PB至N，使BN=PC 连接AN。 易证△ANB≌△APC（SAS） PA=AN 又∵ ∠1=∠2=60° △ANP是正三角形 PN=PA 又∵ BN=PC（已作） PA=PN=PB+BN=PB+PC（即证） 证法三：如图4，延长CP至N，使PN=PB，连接BN ∵ ∠1=∠BAC=60° △BNP是正三角形 又∵ ∠ABP=∠CBN=60°+∠2 易证△ABP≌△CBN（SAS） ∵ PA=NC PN=PB（已作） PA=NC=PN+PC=PB+PC（即证） （三）再次启发讨论 1.如图5，如果延长BP至N，使BN=PA，连结CN。 题目欲证：PA=PB+PC……⑴ 而BN=PB+PN……⑵ 观察（1）、（2）两等式