流的概念及算法-Read.DOC

第一讲 流的概念及算法 概念 什么是流 将目标由一个地点运送至另一个地点叫流。 从图的角度：流是一条途径。 发点，收点，单位 有容量的弧：通过弧的单位流量的数量是有限的。 最大容量：c(x, y) 费用：a (x, y) 网络：图中的每条弧都带有一个容量。 弧的流：f (x, y) 分类：N, I, R 二、几个问题和算法 i (x, y)=c (x, y)-f (x, y) r (x, y)=f (x, y) 可以追加的单位流量 例 i (s,1)=5 i (1,2)=3 i (2,t)=1 可以减少的单位流量 例 r (1, s)=1 r (2, 1)=3 r (t, 2)=5 如何增加从s至t的净流 前向弧，后向弧 i (s, 1)=4 i (1, 2)=3 r (3, 2)=5 r (4, 3)=2 i (4, t)=3 =min{min[i (s, 1), i (1, 2), i (4, t)], min[r (3, 2), r (4, 3) ]} =min{min[4, 3, 3], min[5, 2]}=2 流的增值链：可以运送追加单位流量的弧称为流的增值链。 算法 主要思想：从发点s生长出一棵由已着色的弧组成的树，追加的单位流量可以沿着这些弧从s运出。 增值算法： 确定集合N、I、R中的元素，对s着色。 按下列规则，对弧和顶点着色，直至t被着色或不可能再进行着色为止：如果顶点x已着色，y未着色，则在下列情况之一时，可对顶点y和弧(x, y)着色： 如果弧(x, y)I，则对顶点y和弧(x, y)着色；如果(x, y)I，则对y和弧(x, y)不着色。 如果弧(x, y)R，则对顶点y和弧(y, x)着色。 如果t被着色，则从s至t存在一条由已着色弧组成的唯一链，此链即流的增值链。否则，如在算法终止以后，t仍未被着色，则从s至t不存在流的增值链。终止。 例 i (s, a)=4, r (s, c)=1, i (a, c)=3, r (a, b)=7, i (b, t)=2, r (c, d)=5, r (b, d)=3, r (s, a)=6, r (b, c)=2 最大流的增值链为： 最大流的增值为 min{ i (s, a), i (a, c), r(b, c), i (b, t)} =min{4,3,2,2}=2 证明 引理7-3 如果算法对t已着色，则从s至t存在一条流的增值链。 引理7-4 如果算法不能对t着色，则从s至t不存在任一条流的增值链。 引理7-5 算法在有限步内可终止。 定理7-3 对于给定的图，算法可以找到（如果存在的话）一条流的增值链。 第二讲 最大流算法 1．最大流问题 (maximum flow problem） 在一个有容量的图中，从发点s到收点t，找到一条可以运送最大数量的单位流量的途径，并且不超过弧的容量。 从s至t的每一个流都必须满足下列三个条件： 在从s至t的任一个流中，从每个顶点x (x≠ s, x≠ t) 出去的单位数量必须等于 到达x的单位数量，即 -=0 （x≠s,x≠t) (1) 其中X是G中所有顶点的集合，f(x, y)表示经弧(x, y)运输的单位数量。 （2）经弧(x, y)运输的流的单位数量不大于弧(x, y)的容量c(x, y),即 0≤f(x, y) ≤ c(x, y) (x, y) ∈ E (2) 其中E是所有弧的集合。 (3)从发点流出的单位流量的净数V必等于流入收点的单位流量的净数，即 -=V (3) -=V (4) 满足这三个条件的数值f(x, y)的集合必对应于从s至t的流。 如果可以找到一个满足这四个条件的数值f(x, y)的集合，(x, y)∈E，则这些数值对应于从s至t的流。因此，当(x, y)∈E时，数值f(x, y)的集合是一个流，当且仅当这个集合满足关系式（1）へへs至t的任一个流（可以是零流）开始，用流的增值算法寻找流的增值链。如果找一条s至t的流的增值链，则沿着这条链运送尽可能多的