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关于循环矩阵的讨论 　　学生姓名：赵志梅（0405班） 指导教师：张东艳 摘 要：本文给出了一种特殊的矩阵——循环矩阵，主要利用多项式生成矩阵的思想，初步研究了循环矩阵的性质以及它在各个方面的应用． 关键词：循环矩阵；行列式；逆矩阵；对角化 Discussion on Cyclical Matrix Student:Zhao Zhimei Instructor:Zhang Dongyan Abstract：This essay gives a special matrix which is called cyclical matrix ,and primarily studies the characters of cyclical matrix and its applications in different aspects according to the idea of forming matrix through multinomial． Key words：cyclical matrix；determint；inverse matrix；diagonalization  1.预备知识 定义1　复数域上的阶矩阵称为阶循环矩阵． 定义2　设次多项式，为阶矩阵，则称为多项式关于矩阵的生成矩阵，为矩阵的次生成多项式． 命题　令易知,都是阶循环矩阵，称为基本循环矩阵,且．是阶单位矩阵，并记. 任意一个阶循环矩阵都可用线性表示；反之，如果可用线性表示，那么也一定是阶循环矩阵．事实上,此处，. 2.循环矩阵的性质 2.1　性质1　若 ，都是阶循环矩阵，那么也是阶循环矩阵，且． 证明 设; 又因为（为非负整数） 因而有 这里是一个不高于次的多项式．得证． 2.2　性质2　若是阶循环矩阵，且可逆，那么的逆矩阵也是阶循环矩阵． 证明 由性质1，只要能找到阶循环矩阵（为待定常数，）使得即可，其中为可逆循环矩阵． 　　　　　 要使，就要且只要 上述方程组是以 为未知数，的转置矩阵为系数矩阵的线性方程组，由于可逆，故． 从而方程组有唯一的，而就是的逆矩阵，且是循环矩阵. 推论 设为阶循环矩阵，且可逆，则的伴随矩阵也是循环矩阵. 证明 ，由性质2，是循环矩阵， 因此，，（且是常数）也是循环矩阵. 性质3　任何一个阶循环矩阵在复数域上都可以对角化，更进一步，必然存在 一个复阶可逆矩阵，它使所有阶循环矩阵同时对角化. 证明 基本循环矩阵的特征多项式为，特征根为次单位根 ，. 由于（），所以可以对角化. 的特征根为 的特征向量依次为 故作矩阵　　　　　 令　　　　　　　　 则 由于为范德蒙行列式，当时．从而可逆， 得 又是任意的，从而证明了性质3的全部理论． 由性质3的证明可知，的全部特征根是， 且　　　　　　　　　　　． 推论　阶循环矩阵可逆的充分必要条件为　 证明　 若可逆，则即．反之亦成立． 如果记的个列向量为，则 ，那么是所有的阶循环矩阵共同的个线性无关的特征向量． 3.循环矩阵的应用 3.1 循环矩阵行列式的计算 由循环矩阵的性质3我们可知，基本循环矩阵右乘循环矩阵得 即 　． 又由于为范得蒙行列式，故 下面我们用另一种方法来证明对于任意一循环矩阵的行列式为 ． 引理　设阶方阵的特征根为，为任意多项式，则的特征根为 证明 根据题设有 设　　　　　　　 则　　　　　　　 现在把看作自由变量，在上式中用来代替 则 　 即的特征根为 那么对于循环矩阵 　　 取基本矩阵，，其中 所以的特征值为的根，设为 令 　　 则 　　 由引理得，的特征根为 　　． 从而 　　　 . 例 已知循环矩阵，求 解 ＝ 对于次单位根 　 分别为，， 3.2　循环矩阵的逆矩阵 设为一个阶循环矩阵，将其列依次循环可得一系列 循环矩阵，用，分别表示上述主对角线上元素为的阶循环矩阵. 设 　　， 则都是阶循环矩阵，记，其中为单位矩阵，则任意一个阶循环矩阵都可用线性表示， 即　　　　　　　　　 （*） 若可逆，对施行一系列初等行变换，把化为单位矩阵，也就是用初等矩阵 左乘（*）式两端： 当经上述变换化为单位矩阵时， 则有　　　　　　　 易知下面结论成立 (1)由性质2 可知，循环矩阵的逆矩阵仍然是循环矩阵. (2)若可逆，对施行一系列初等变换，同时对施行同样一系列行初等变换，当化为单位矩阵时，那么同时得到 且　　　　　　　　 证明 若 ,则有．其中为初等方阵，上面二式说明如果用一系列初等行变换