几个问题争鸣的评析.doc

数学通讯几个争鸣问题的评析 江苏省常熟市中学 査正开 215500 问题201 期望相同，分布列不一样，何故？ 评析：本题第（2）问的两个解法中解法1是正确的，而解法2 是错误的。在20名学生中选3名学生担任迎宾工作，这3名学生中“身高矮于170cm”的人数为。这是一个古典概型，其应服从超几何分布，因此解法1是正确的，而解法2 把这一问题误认为是独立重复试验，其中服从二项分布，从而导致了错误的分布列。实际问题中区分古典概型与独立重复试验的关键是“不放回还是有放回”。“不放回”符合古典概型，随机变量服从超几何分布。“有放回”符合独立重复试验，随机变量服从二项分布，显然本题是“不放回”，应服从超几何分布。至于两种解法中尽管它的分布列不一样，为什么期望会相同呢？ ∵ ∴解法1 中 解法2 中 则 因而他们所得的期望肯定会相同。当然如果 很小时“不放回”可以认为“有放回”，超几何分布近似于二项分布。这一可为计算带来简便。 问题207 一题二法，谁对谁错敬辨析 题目 求出同时满足下列条件的双曲线方程 渐近线方程为 点到双曲线上动点P的距离最小值为 评析——相切 解法2采用数形结合根据图形的几何性质分析出当以点为圆心， 为半径的圆与双曲线相切时满足题设。想法不错，但因为圆以双曲线相切情况较复杂，综合起来应有两种情形。一种是横坐标趋于相等，另一种是纵坐标趋于相等。解法2消去y得到x的一元二次方程，再令得这样只考虑了横坐标相等，而遗漏了纵坐标相等的情况，因此还应消去得到 y的一元二次方程，再令处理，但因消x较困难，若要补救只能借助于图形，可观测出当双曲线右顶点位于（5+，0）时也满足。这样解题既不流畅，又不严谨，因而不宜向学生介绍。解法1 通过构造目标函数，再结合变量范围对二次函数进行分类讨论，思路自然流畅，解法严谨规范是正解。 问题206——复数的平方≠向量的平方 解： B错 A、C错 而|正确答案为 D 原解答混淆了复数的平方与向量平方的区别，导致错解。 问题204 定义在R上的函数f(x)满足且 当时 求. 评析：本题是一道错题。因为同时满足条件① ② ③当时的函数不存在，故作者会导出矛盾的结果。理由如下： 由①，不妨设 当时， 由② 由① 由③可知当时 产生矛盾 当 由② 由①与③矛盾 当时 由③， 再由②， 当时 与③矛盾 综上所述，不存在同时满足条件的①②③的函数. 问题205—殊途不同归，请君辨真伪 在教学中遇到如下问题：在1，2，3，4，5，6，7的任一排列,,,,,,中相邻两数都互质的排列方式共有几种？ 评析：解法1是正确的，解法2是错误的。 因为要使相邻两数互质，则2，4，6三个数不能相邻，且3与6不能相邻，但3可与2和4相邻。因而在解法2中遗漏了2与4间排3的情形，采用捆绑法，将2、3、4看作一个整体，与1，5，7排列共有2种情况，再考虑插入6，有3种情况，因此总共遗漏了2×3=144种。 因此，处理此类问题应优先考虑最特殊的元素。为避免发生此类错误建议采用如下解法：（关键元素优先法） 先考虑3排在2与4中间，与1，5，7排列共有2种，再排6，共有3种情况，所以有2×3=144种；然后考虑2，3，4隔开的与1，5，7排列情况有×种，再排6时有5种情况，所以有5××=720种；因而满足要求的情况共有144+720=864种。 问题202 给出函数的定义域，求参数的取值集合引出的问题 题目： 若函数的定义域为 ，则实数a的取值集合是_________________ 评析： 解法2 是正确的。因为已知函数 的定义域为 则就是指函数 的自变量x 的取值区间恰为，而解法1 的错误在把问题转化为 当 时 ， 恒成立，这样只保证在这个区间上函数有意义，并没有满足仅当在这个区间上成立。类似的在研究函数的单调性和函数的值域时，给出函数的单调区间I，那么断定函数当且仅当在这个区间I上单调，给出函数的值域I就是指它的取值在而且仅在I 上，而不能产生解法1那样的错误。 问题203 为何方差相差10倍 题目：智力测验中共有10道判断题，评分规则是：底分50 分，每答对一题加5分，答错一题减3分。某人答对任何一题的概率是3/4。 （1）求此人得分的期望 （2）求此人得分的方差 评析： 解法2 的错因在于利用一题所得的分数作为随机变量计算出的E=3，此人的得分期望 E =50+10×3=80 没有出错，但在算得分的方差时，因为D已考虑了每题得分的离散程度，其单位为分的平方，因而做完10题此人得分方差只能乘以10而不能乘以100，从而导致错误，且与实际相差10倍，照这一思路的正解如下： 将底分50 分纳入每题得分5分，设随机