向量教学的几点注意.doc

本文发表于华东师大《数学教学》2004第7期 向量教学的几点注意 215006 苏州市第一中学 刘祖希 笔者通过新教材高一《平面向量》与高二《空间向量》的教学，发现以下几点应引起大家的注意. 1 向量方法使用的纯粹性 解答几何问题我们提倡综合法与向量法完美结合，但使用向量法必须保证纯粹性，防止假应用，即不能直接将综合几何中的结论改写为向量形式，便称之为向量法. 例1 用向量法证明：空间四边形各边中点构成平行四边形. 证法1：∵是各边中点，∴，， ∴，与平行且相等，构成平行四边形. 这一证法，实质是直接使用了三角形中位线定理，形式上却贴上了向量的标签“” ，这是错误的、至少是不纯粹的向量证法，下面的处理是适当的. 证法2：∵， 同理， ∴，与平行且相等，构成平行四边形. 2 几个语法错误 向量无论在运算性质还是在书写上都有明显不同于实数之处，若不注意这些，就会犯一些“语法错误”. 其一，零向量错误地记为0（实数）； 其二，向量的坐标或错误地记为或； 其三，相反地，点的坐标或又错误地记为或； 3 重视向量运算中的0的处理 除了上述零向量记为而不能记为实数0之外，我们还屡屡发现向量教学中关于零的失误、错误. 例2 教材中关于向量平行的坐标表示：设，，其中，则 .由到，该如何消去？ 证法1：∵，∴与中至少有一个不等于0，不妨设，则由代入得，即.见文 [1]. 证法2：两式相除，并对讨论.见文 [2]. 事实上，这两种方法远不如下面的处理简洁： 证法3：由得，两式相减，得. 例3 三点共线的充要条件有 （填序号）： ①；②；③. 错解：选①②③. 正解：选①②.③的错误在于没有指出系数不全为零（见文[3]），仅是一个必要不充分条件.类似的问题还有下面的例4： 例4 以下能判定四点共面的条件有 （填序号）： ①；②；③. 看来，实数0在向量运算中也必须引起足够重视. 4 向量与实数之间、向量夹角与空间直线夹角适时恰当地转换 向量与实数是两个不同的“世界”，能适时恰当地将两者进行转换是学好用好向量的关键. 其一，向量与实数最简洁完美的沟通莫过于，教学中应特别向学生给予推介. 例5 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=4，AD=3，AA1=5， ∠BAA1=∠DAA1=60o，∠BAD=90o，求AC1的长. 解：考虑， ， 故，即AC1的长. 其二，注意向量夹角与空间角度直线夹角的区别，教学中应特别向学生申明,防止答非所问. 如，则空间直线夹角为；如，则为. 5 注意挖掘向量丰富的运算形式和实质 仅高中阶段介绍的向量运算形式就有加法、加法、数乘、数量积（又称点乘、内积），这又分别可用普通形式和坐标形式来表述，其实还不止这些，如向量的矢量积（又称叉乘、外积）、混合积、旋转运算等，无论是哪一种都有别于实数运算，但只要掌握了不同运算形式其实质，即运算对象是什么、运算过程是什么、运算结果又是什么，一切运用起来就十分容易. 例6 定义向量的新运算*为：.若对向量有，求.（2003年扬州市高考模拟题） 解：由*的定义，知， 两式平方相加，，即. 移项，得， 两式平方相加，，即. 显然，中，. 注：其实就是空间向量的旋转公式. 参考文献： [1]金兔.关于向量教学的几点想法.数学教学，2003.4 [2]阮伟强.平面向量教学后记.中学数学研究（广州），2004.3 [3]刘吉存.从向量一例看数学的源与流.数学教学，2003.6 1